Методы решения тригонометрических уравнений Учитель математики: Семёнова Елена Юрьевна МБОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Содержание Метод замены переменной Метод разложения на множители Однородные тригонометрические уравнения С помощью тригонометрических формул: Формул сложения Формул приведения Формул двойного аргумента

Метод замены переменной С помощью замены t = sinx или t = cosx, где t [1;1] решение исходного уравнения сводится к решению квадратного или другого алгебраического уравнения. См. примеры 1 – 3 Иногда используют универсальную тригонометрическую подстановку: t = tg x 2

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Метод разложения на множители Суть этого метода заключается в том, что произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысл: f(x) · g(x) · h(x) · … = 0 f(x) = 0 или g(x) = 0 или h(x) = 0 и т.д. при условии существования каждого из сомножителей См. примеры 4 – 5

Пример 4

Пример 5

Однородные тригонометрические уравнения a sin x + b cos x = 0 однороднымтригонометрическим уравнением первой степени Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. a sin x + b cos x = 0 Замечание. cos x cos x = 0 a sin x + b cos x = 0 Деление на cos x допустимо, поскольку решения уравнения cos x = 0 не являются решениями уравнения a sin x + b cos x = 0. : cos x a sin x b cos x 0 cos x + = a tg x + b = 0 tg x = – a b

Однородные тригонометрические уравнения a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 однороднымтригонометрическим уравнением второй степени Уравнение вида a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени. : cos 2 x a tg 2 x + b tg x + c = 0 a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x 0 cos 2 x + = + tg x = t Далее, вводим новую переменную tg x = t и решаем методом замены переменной. а = 0 с = 0 Замечание. Если в данном уравнении а = 0 или с = 0 то, уравнение решается методом разложения на множители.

Пример 7 Пример 6

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

С помощью тригонометрических формул 1. Формулы сложения: sin (x + y) = sinx cosy + cosx siny cos (x + y) = cosx cosy sinx siny tgx + tgy tg (x + y) = 1 tgx tgy sin (x y) = sinx cosy + cosx siny cos (x y) = cosx cosy + sinx siny tgx tgy tg (x y) = 1 + tgx tgy сtgx сtgy 1 сtg (x + y) = сtgу + с tgх сtgx сtgy + 1 сtg (x y) = сtgу с tgх

Пример 12

Пример 13

С помощью тригонометрических формул 2. Формулы приведения:

Лошадиное правило В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа менять или не менять название функции ( синус на косинус ), смотрел на свою умную лошадь, а она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента π/ 2 + α или π + α. Если лошадь кивала головой вдоль оси ОУ, то математик считал, что получен ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ, то «нет, не менять».

С помощью тригонометрических формул 3. Формулы двойного аргумента: sin 2x = 2sinx cosx cos 2x = cos 2 x – sin 2 x cos 2x = 2cos 2 x – 1 cos 2x = 1 – 2sin 2 x tg 2x = 2tgx 1 – tg 2 x ctg 2x = 2ctgx ctg 2 x – 1

Пример 14

С помощью тригонометрических формул 4. Формулы понижения степени: 5. Формулы половинного угла:

С помощью тригонометрических формул 6. Формулы суммы и разности:

С помощью тригонометрических формул 7. Формулы произведения:

Мнемоническое правило Тригонометрия на ладони Очень часто требуется знать наизусть значения cos, sin, tg, ctg для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Но если вдруг какое-либо значение забудется, то можно воспользоваться правилом руки. Правило: Если провести линии через мизинец и большой палец, то они пересекутся в точке, называемой лунный бугор. Образуется угол 90°. Линия мизинца образует угол 0°. Проведя лучи из лунного бугра через безымянный, средний, указательный пальцы, получаем углы соответственно 30°, 45°, 60°. Подставляя вместо n : 0, 1, 2, 3, 4, получаем значения sin, для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Для cos отсчет происходит в обратном порядке.

Не закончено!