Действия с алгебраическими дробями Проект по математике ученицы 8 класса средней общеобразовательной школы с углублённым изучением английского языка при Посольстве РФ в Великобритании Кантович Анастасии Учитель математики Щербакова В.Б.

Сокращение дробей Пример 1 Разложим на множители числитель и знаменатель, для этого вынесем за скобки в числителе а, в знаменателе 5; получим: Сократим дробь: на одинаковый множитель числителя и знаменателя (b-2) Получим после сокращения:

Сокращение дробей Пример 2 Сократим дробь 1) В знаменателе этой дроби видим формулу суммы кубов (a 3 +b 3 ) и раскладываем знаменатель по этой формуле a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2 ). 2) Видим, что сомножитель (a 2 -ab+b 2 ) в числителе = сомножителю (a 2 -ab+b 2 ) в знаменателе; мы можем их сократить. 3) В числителе остаётся 1, в знаменателе остаётся первый сомножитель – часть формулы суммы кубов: Получаем

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями Пример 2 Сложим дроби с одинаковыми знаменателями: 1) Так как знаменатель одинаковый, его нужно оставить общим 2) Числитель объединяем в одно выражение (8c c) 3) Упрощаем числитель, приводя подобные слагаемые: (8c-2c=6c; 25+5=30 ) 4) Числитель =6c+30; знаменатель =6c Получаем

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями Пример 2 Вычтем дроби с одинаковыми знаменателями: 1) Так как знаменатель одинаковый, его нужно оставить общим 2) Числитель объединяем в одно выражение (5b 2 -13b 2 ) 3) Вычитаем из 5b b 2 = -8b 2 4) Числитель = -8b 2 ; знаменатель = а Получаем:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Пример 1 Вычтем дроби с разными знаменателями: 1) Так как знаменатели разные, прежде всего надо найти общий знаменатель. Наиболее простой знаменатель – наименьший общий; здесь будет =3ab 2) Находим дополнительные множители к числителям этих дробей. Для (a-2b) доп. мн. a ; для (b-2a) доп. мн. b 3) Числитель 4) Упростим числитель -2ab и 2ab взаимно уничтожаются; остаются a 2 -b 2 5) Получаем у дроби, равной разности данных дробей, числитель a 2 -b 2 ; знаменатель 3ab Получаем

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Пример 2 Сложим дроби с разными знаменателями: 1) Так как знаменатели разные, прежде всего надо найти общий знаменатель. Наиболее простой знаменатель здесь будет a 2 b 2) Находим дополнительные множители к числителям этих дробей. Для (a+b) доп. мн. b ; для (a-b) доп. мн. a 3) Числитель 4) Упростим числитель: -ab и ab взаимно уничтожаются; остаются b 2 +a 2 5) У дроби, равной сумме числитель b 2 +a 2 ; знаменатель a 2 b 6) Получаем:

Умножение дробей Пример 1 Умножим дроби: 1)Для того чтобы умножить две дроби, надо числитель первой дроби умножить на числитель второй, знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй: ; 2) Сократим полученную дробь: 3)Получаем:

Умножение дробей Пример 2 Умножим дробь на выражение: 1) Представим (4m 2 n) простой дробью 2) Для того чтобы умножить две дроби надо числитель первой дроби умножить на числитель второй, знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй ; 3) Сократим полученную дробь: 4) Получаем:

Деление дробей Пример 1 Разделим две дроби: 1) Представим (35x 5 y) обычной дробью 2)Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: 3) Сократим полученную дробь: 4) Получаем:

Возведение дробей в степень Пример 1 Возведем дробь в степень: Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй - в знаменателе. Получаем: Пример 2 Возведем дробь в степень: Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй - в знаменателе. Получаем 16