Системы счисления и действия в них Лекция 2

План 1.Системы счисления. Классификация 2.Арифметика в двоичной системе счисления 3.Представление чисел в памяти компьютера

Система счисления Алфавит Х из р символов и правила записи и обработки чисел с помощью символов этого алфавита называются системой счисления (нумерацией) с основанием р. Число х в системе счисления с основанием р обозначается как (х) р или х р.

Система счисления и кодирование Любая система счисления – это система кодирования числовых величин, позволяющая выполнять операции кодирования и декодирования. По любой количественной величине можно однозначно найти ее кодовое представление и по любой кодовой записи – восстановить соответствующую ей числовую величину.

Классификация СС Непозиционные Вес цифры (или символа алфавита) не зависит от ее места в записи числа или слова. Системы счисления Позиционные Вес цифры (или символа алфавита) зависит от ее места в записи числа или слова.

Непозиционные СС I = 1 V = 5 Х = 10 L = 50 С = 100 D = 500 М = 1000 Непозиционная система счисления – древняя Римская система записи чисел. Алфавит системы:

Непозиционные СС Примеры римских чисел: III = 3, IV = 4, V = 5, VI = 6, IX = 9, XI = 11, DCL = 650. Запись числа в этой системе получается двусторонней конкатенацией, причем правая конкатенация ассоциируется с добавлением, а левая конкатенация – с убавлением (например, IV и VI).

Все позиционные системы счисления строятся по общему принципу: определяется величина q – основание системы, а любое число «a» записывается в виде комбинации степеней веса р от 0-й степени до степени s. Позиционные СС

Пусть q - натуральное число большее 1 и M={0, 1, …, q-1}. Говорят, что натуральное число a записано в позиционной системе с основанием q, если где s - целое неотрицательное, а 0, …, a s M и a s 0.

Если каждое число множества M={0, 1, …, q-1} обозначено специальным символом, то эти символы называются цифрами q-ичной позиционной системы. Запись числа в q-ичной позиционной системе счисления выглядит так: a=(a s a s-1 a s-2 …a 1 ) q Позиционные СС

Принятая система записи числа основана на том, что q единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего, более старшего разряда. Это дает возможность проводить арифметические действия в любой позиционной системе счисления по тем же правилам, что в десятичной системе счисления. Позиционные СС

Наиболее используемые в информатике системы счисления: двоичная, над алфавитом Х = {0,1}; восьмеричная, над Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; шестнадцатеричная, над Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F}, где символы А, В, С, D, Е, F имеют десятичные веса 10, 11, 12, 13, 14, 15. Позиционные СС

Примеры: = 1* * * * = 1* * *8 0 A6F 16 = А* * F* ,01 2 = 1* * * * *2 -2 A,B 16 = A* B*16 -1

Перевод чисел Общая задача перевода чисел из одной системы счисления в другую: Дано: x=(p n p n-1 …p 0 p -1 p -2 …) P p i – цифры p-ичной системы. Найти: x=(q s q s-1 …q 0 q -1 q -2 …) q q j – искомые цифры q-ичной системы.

Перевод Q->P Запись и вычисление значения полинома X=x n q n +x n-1 q n-1 +…+x 1 q 1 +x 0 q 0 +x -1 q -1 +…+x -m q -m где все цифры x i и число q заменяются их p- ичными изображениями и все требуемые операции выполняются в p-ичной системе счисления.

Пример: Перевести (371) 8 в Х 10 Перевести (AF,4) 16 в Х 10 (371) 8 = (3·8 2 +7·8 1 +1·8 0 ) 10 = (3·64+7·8+1) 10 = (249) 10 (AF,4) 16 = (10· · ·16 -1 ) 10 = ( ,25) 10 =175,25 10 Решение:

Перевод целой части числа Перевод дробной части числа (его мантиссы) Перевод P->Q

N – целое число в p-ичной системе счисления. N=(q s q s-1 …q 1 q 0 ) Q, где искомые цифры определяются по следующим рекуррентным формулам: q i =Q- остаток от деления N на Q N i+1 =- целая часть от деления N на Q i=0,1,2,…; N 0 =N и процесс продолжается до тех пор, пока не станет N i+1 =0. Перевод P->Q (целая часть)

Пример: Перевести N=(3060) 10 в X | | | Таким образом, q 0 =(4) 16, q 1 =(15) 16, q 2 =(11) 16 N=(BF4) 16 Решение:

Пусть х - правильная дробь (0 х 1), заданная в p- ичной системе счисления. Тогда х=(0,q -1 q -2 …q -m ) Q, где искомые цифры определяются по следующим рекурентным формулам: q -(i+1) =[x i ·Q], x i+1 ={x i ·Q}, i=0, 1, 2, …; x 0 =x и процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено х i+1 =0 либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа. Перевод P->Q (дробная часть)

Пример: Перевести N=(0,2) 10 в X X=0, … Решение:

Пусть х>1 – произвольное число, заданное своим изображением в системе счисления с основанием Р. Подберем число M=Q k, чтобы число X/M

Пример: Перевести 502,5 10 в X 8 X=502,5 Q=8. k=3, тогда М=8 3 = ,5/512=0, После перевода умножением полученной дроби получаем: 0, Выполним умножение на 8 3, т.е. перенесем запятую на 3 разряда вправо и получим результат: 766,4 8. Решение:

Системы счисления, в которых каждый коэффициент p-ичного разложения числа записывается в q-ичной системе, q

в двоично-десятичной системе записывается в виде Эта запись отличается от двоичного изображения данного числа. В двоичной системе счисления это десятичное число 2341, а не исходное 925. Смешанные СС

Пусть p=q L, (L – целое положительное число). Тогда запись какого либо числа в p-q- ичной системе счисления тождественно совпадает с изображением этого числа в системе счисления с основанием q. Смешанные СС

Системы счисления с основанием 2 8СС2СС СС2СС A1010 B1011 C1100 D1101 E1110 F1111

Примеры:

Арифметика в 2 СС + * - / = = = = 10 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = = = = = 0 0 / 0 = -- 0 / 1 = 0 1 / 0 = -- 1 / 1 = 1

Представление целых чисел в знаковых целых типах Для представления со знаком самый старший (левый) бит отводится под знак числа, остальные разряды - под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если отрицательное - 1. Например, в байте можно представить знаковые числа от -128 до 127.

Прямой код Прямой код числа полностью совпадает с записью самого числа в ячейке машины. Прямой код отрицательного числа отличается от прямого кода соответствующего положительного числа лишь содержимым знакового разряда.

Дополнительный код числа Для представления отрицательных целых чисел в ЭВМ используется так называемый дополнительный код = обратный код + единица в младшем разряде

Обратный код числа Обратным кодом числа в системе с основанием р называется число в этой системе, получаемое заменой цифры, символа в каждом разряде числа на его дополнение до максимальной цифры в системе (то есть до р – 1).

Пример: Двоичное число: Обратный код: 01100

Пример: Двоичное число: Обратный код: Дополнительный код:

Вычитание с дополнительным кодом A-B, если A>B: 1.Найти дополнительный код вычитаемого такой же разрядности, как и уменьшаемое 2.Сложить этот код с уменьшаемым. 3.Результатом вычитания будет полученная сумма без учета старшего разряда (отбрасывается).

Пример:

Вычитание с дополнительным кодом A-B, если A

Пример:

Представление чисел При проектировании ЭВМ, создании инструментального и прикладного программного обеспечения разработчикам приходится решать вопрос о представлении в ЭВМ числовых данных. Для решения большинства прикладных задач обычно достаточно использовать целые и вещественные числа.

Представление чисел Запись целочисленных данных в запоминающем устройстве ЭВМ не представляет затруднений: число переводится в двоичную систему и записывается в прямом коде. Диапазон представляемых чисел в этом случае ограничивается количеством выделенных для записи разрядов.

Представление чисел Для вещественных данных обычно используются две формы записи: 1.число с фиксированной точкой 2.число с плавающей точкой

Фиксированная точка Форма записи числа с фиксированной точкой использовалась в основном на ранних этапах развития вычислительной техники. Запись числа с фиксированной точкой обычно имеет знаковый и цифровой разряды. Фиксированная точка означает, что на этапе конструирования ЭВМ было определено, сколько и какие разряды машинного слова отведены под изображение целой и дробной частей числа.

Фиксированная точка

Достоинства Недостатки Простота выполнения арифметических операций, высокая точность изображения чисел. небольшой диапазон представления чисел.

Плавающая точка Представление чисел с плавающей точкой – полулогарифмическая форма записи числа: N = ± mq ^± p где q- основание системы счисления, p - порядок числа, m - мантисса числа N.

Плавающая точка Положение точки определяется значением порядка p. С изменением порядка точка перемещается (плавает) влево или вправо.

Пример: Влево: = =12.5*10 1 =1.25*10 2 =0.125*10 3 =0.0125*10 4 … Вправо: = =1250*10 -1 =12500*10 -2 =125000*10 -3 = *10 -4 …

Плавающая точка Для установления однозначности при записи чисел принята нормализованная форма записи числа. Мантисса нормализованного числа может изменяться в диапазоне: 1/q |m| < 1. В нормализованных числах цифра после точки должна быть значащей.

Плавающая точка

Для представления чисел в машинном слове выделяют группы разрядов для изображения: 1. мантиссы, 2. порядка, 3. знака числа, 4. знака порядка.

Плавающая точка

Пример: Число А=-3.510=-11.12=-0.111·10 10

Плавающая точка Максимальным числом представимым в формате слова будет A=( · )2=(1·2 127 ) 10

Плавающая точка Числа с плавающей точкой позволяют увеличить диапазон обрабатываемых чисел, но при этом точность изображения чисел определяется только разрядами мантиссы и уменьшается по сравнению с числами с фиксированной точкой.

Вопросы для самостоятельного изучения 1. Чем отличается нормальная форма представления числа от нормализованной формы? 2. С какой целью отрицательные числа записываются в дополнительном коде в памяти ЭВМ? 3. Что такое машинный порядок и для чего он нужен?