История тригонометрии

Мы надеемся узнать об истории тригонометрии какие-то неизвестные нам факты. Мы думаем что проект поможет исследовать что-то новое и неизведанное нами.

Тригонометрия (от греч. trigonon-треугольник и metrio-измеряю) – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и, вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функция сформировались в процессе долгого исторического развития. Тригонометрия (от греч. trigonon-треугольник и metrio-измеряю) – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и, вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функция сформировались в процессе долгого исторического развития. Тригонометрические сведения были известны древним вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией. Однако они рассматривали не линии синуса, косинуса и др., а хорды. Роль линии синусов угла a у них выполняла хорда, стягивающая дугу, равную 2a. Тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции встречающиеся уже в III веке до н.э. в работах великих математиков– Евклида, Архимеда, Апполония Пергского.. Древнегреческие астрономы успешно решали отдельные вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией. Однако они рассматривали не линии синуса, косинуса и др., а хорды. Роль линии синусов угла a у них выполняла хорда, стягивающая дугу, равную 2a.

Питискуса Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческое τρίγωνον – треугольник, μετρεω – мера. Иными словами, тригонометрия – наука об измерении треугольников. Тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач в областях астрономии, мореплавания и в составлении географических карт.

Птолемей

Наивысшими достижениями греческая тригонометрия обязана астроному Птолемею (2 век н. э.), создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника. Греческие астрономы не знали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы : позволяющие отыскать хорду окружности по стягиваемой дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах ; хорды тоже измерялись градусами ( один градус составлял шестидесятую часть Радиуса ), минутами и секундами. Это шестидесятеричное подразделение греки заимствовали у вавилонян. В первом тысячелетии нашей эры происходит бурный расцвет культуры и науки в странах Арабского Халифата, и поэтому основные открытия тригонометрии принадлежат ученым этих стран. Туркменский ученый аль - Маразви первым ввел понятие tg и ctg как отношение сторон прямоугольного треугольника и составил таблицы sin, tg, и ctg. Основным достижением арабских ученых является то, что они отделили тригонометрию от астрономии.

Развитие тригонометрии в странах Средней Азии, Ближнего Востока, Закавказья(VII-XV в.) Развиваясь в тесной связи с астрономией и географией,- среднеазиатская математика имела ярко выраженный «вычислительный характер» и была направлена на разрешение прикладных задач измерительной геометрии и тригонометрии. Из числа сделанных ими важнейших успехов следует в первую очередь отметить введение всех шести тригонометрических линий: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, из которых лишь первые две были известны грекам и индийцам.

Тригонометрия отделяется от астрономии и становится самостоятельной наукой ( Х III в.) В трудах среднеазиатских ученых тригонометрия превратилась из науки, обслуживающей астрономию, в особую математическую дисциплину, представляющую самостоятельный интерес. Это отделение обычно связывают с именем азербайджанского математика Насирэддина Туси ( ).

Значительные высоты достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов. Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд синусами, что позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах. Индийские ученые пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражается как : sin a + cos a = 1, sin a = cos (90 - a) sin (a + b) = sin a. cos B + cos a. sin b

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты. Отрезок CB он назвал ардхаджива (ардха –половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus –изгиб, кривизна). Известный Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми (IX в.) составил таблицы синусов и котангенсов. Ал-Хабаш вычислил таблицы для тангенса, котангенса и косеканса..

Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в. В отличие от греков инд ийцы стали рассматривать и употреблять в вычислениях уже не целую хорду ММ соответствующего центрального угла, а только ее половину МР, т. е. синуса - половины центрального угла. Наряду с синусом индийцы ввели в тригонометрию косинус, точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. Им были известны также соотношения cos =sin(90 - ) и sin 2 +cos 2 =r 2, а также формулы для синуса суммы и разности двух углов. косинус

Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в. Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого « синуса дополнения », т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90. « Синус дополнения » или ( по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus.

. Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке Аль - Батани ( ) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухаммед ( ), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10 с точностью до 1/604. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г.). Именно он доказал теорему тангенсов (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера ( ). Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. Региомонтан – самый видный европейский представитель этой эпохи в области тригонометрии. Его обширные таблицы синусов через 1 с точностью до 7-й значащей цифры и его мастерски изложенный тригонометрический труд «пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в XVI – XVII веках. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г.). Именно он доказал теорему тангенсов (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера ( ). Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. Региомонтан – самый видный европейский представитель этой эпохи в области тригонометрии. Его обширные таблицы синусов через 1 с точностью до 7-й значащей цифры и его мастерски изложенный тригонометрический труд «пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в XVI – XVII веках.

Позже тригонометрия начала широко изучаться в Европе. Его обширные таблицы синусов через 1 0 с точностью до 7-ой цифры и его изложенный тригонометрический труд «Пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в XVI – XVII вв. Швейцарский математик Иоганн Бернулли ( ) уже применял символы Обратных тригонометрическихфункций.

Якоб Бернулли Якоб Бернулли, совместно с братом Иоганном, положил начало вариационному исчислению. Они доказал в 1713г. так называемую теорему Бернулли - важный частный случай закона больших чисел.

Тригонометрия: 1) плоская - изучает только плоские треугольники 2) сферическая – изучает только сферические треугольники 3) прямолинейная – не входит в школьную программу. Плоская тригонометрия начала развиваться позже сферической, хотя отдельные теоремы ее встречались и раньше, так например 12-я и 13-я теоремы второй книги «Начал» Евклида (III в. до н. э.) выражают по существу теорему косинусов. Плоская тригонометрия получила развитие у аль-Баттани (2-я половина IX – начало Xв.), Абу-ль-Вефа, Бхскала и Насиреддина Туси, которым была уже известна теорема синусов. Тригонометрия, занимающаяся сферическими треугольниками, называется сферической, также она рассматривает соотношения между сторонами и углами треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов. В работах математика Франсуа Виета ( ), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Франсуа Виет Франсуа Виет дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольников, открыл формулы для тригонометрических функций от кратных углов.

Окончательный вид тригонометрия приобрела в XVIII веке в трудах Л. Эйлера. Леонард Эйлер

Исключил из своих формул R – целый синус, принимая R = 1, и упростил таким образом записи и вычисления. Во «Введении в анализ бесконечных» (1748 г) трактует синус, косинус и т.д. не как тригонометрические линии, обязательно связанные с окружностью, а как тригонометрические функции, которые он рассматривал как отношения сторон прямоугольного треугольника, как числовые величины. Разрабатывает учение о тригонометрических функциях любого аргумента.

Леонард Эйлер Леонард Эйлер ввел и само понятие функции и принятую в наши дни символику. Он придал всей тригонометрии ее современный вид.

В XIX веке продолжил развитие теории тригонометрических функций. « Геометрические рассмотрения,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций… Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа».

В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть-учение о тригонометрических функциях -является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть- решение треугольников - рассматривается как глава геометрии.

Редко используемые тригонометрические функции Редко используемые тригонометрические функции функции угла, которые в настоящее время используются редко по сравнению с шестью основными тригонометрическими функциями (синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом). К ним относятся: versin (версинус) vercos (коверсинус) haversin (гаверсинус) exsec (эксеканс) excsc (экскосеканс)

Редко используемые тригонометрические функции Синус - верзус ( другие написания : версинус, синус версус, называется также « стрелкой дуги »): Косинус - верзус ( другие написания : коверсинус, косинус версус ): Гаверсинус ( англ. haversinus, сокращение от half the versed sine): Эксеканс ( англ. exsecant) или экссеканс : Экскосеканс дополнительная функция к эксекансу :

«Сближение теории и практики дает самые благотворные результаты, и не одна только практика выигрывает; сама наука развивается под влиянием ее». П.Л.Чебышев

Каждого изучающего математику интересует как и где применяются полученные знания ?

Тригонометрия в артиллерии Координаты этого тела в момент времени t выражается так: (1) Определяем из первого уравнения системы t и подставляем полученное значение во второе уравнение: y=xtg - Мы получили формулу, выражающую зависимость между высотой у, на которой находится брошенное тело над Землей, и горизонтальным расстоянием его х от начальной точки полета. Эта формула принадлежит к типу : у=bx-ax 2. Следовательно, перед нами квадратичная функция и графиком ее будет парабола, ось которой параллельна оси ординат и ветви которой обращены вниз от ее вершины. Координаты вершины параболы мы найдем по формулам: x A =- и y A =. x A = = = Дальность полета артиллерийского снаряда, начальная скорость которого v 0 будет: D=2x A = Последняя формула показывает, что дальность полета зависит от угла. Функция y=sin2 принимает наибольшее значение, равное1, если 2 =90,т.е. =45.А это и значит, что наибольшая дальность поражения получится, если наклонить орудие под углом 45 к горизонту.

Исследование движения ползуна в кривошипно-шатунном механизме. В начальный момент, когда кривошип занимает положение ОА 1, точка В шатуна находится в В 1. Если в данный момент кривошип находится в положении ОА, образуя угол с линией мертвых точек, соответственно чему шатун занимает положение АВ, образуя с той же прямой угол, то, следовательно, палец В ползуна за время поворота кривошипа на угол переместился на величину х=В 1 В. Выразим перемещение х в зависимости от данных величин. Опустим перпендикуляр АК на ОВ 1 ; тогда :ОВ=ОК+КВ. Из треугольников АОК и АВК имеем: ОК=ОА cos=rcos и KB=ABcos=lcos;следовательно, ОВ=rcos+lcos и x=r+l- rcos- lcos =r(1-cos)+l(1-cos). Выразим cos в зависимости от угла из треугольников АОК и АВК; найдем АК=rsin и AK=lsin. Отсюда: rsin= lsin и sin= ]. cos = х=r(1-cos )+l[1- ]= Кривошипно-шатунный механизм служит для преобразования равномерного вращательного движения конца кривошипа в неравномерное прямолинейное движение ползуна, и обратно. Аналогично работает двигатель автомобиля.

Расчет длины ременной передачи, соединяющей два шкива: ведущий и ведомый. Пусть расстояние между центрами шкивов равно d и радиусы их- R и r. Длину ременной передачи разобьем на части АВ, ВС, СD=AB, DE, EF, EA=DF.Определим длину каждой отдельной части. Из треугольника О 1 КО имеем: О 1 К=АВ= AOE=BO 1 G=KO 1 O; обозначим AOE через и найдем его величину. Из треугольника О 1 КО sin = Зная sin, мы сможем по таблицам определить и угол. AE= DF= = AEFD= R+2 = R+ ; BG= CH= = ; BC= r-. Длина всего ремня =2 + R+ + R- = 2 + (R+r)+ (R-r).

Определение коэффициента трения. Тело веса Р положено на наклонную плоскость с углом наклона. Тело под действием своего собственного веса прошло ускоренно путь S в t секунд. Определить коэффициент трения k. Решение. Сила давления тела на наклонную плоскость =kPcos. Сила, которая тянет тело вниз равна F=Psin - kPcos =P(sin -kcos ).(1) Если тело движется по наклонной плоскости, то ускорение а= =.(2) С другой стороны, ускорение а= =gF ;следовательно, =. Из равенств (1) и (2) следует, что g(sin - kcos )= Отсюда: k==gtg - =gtg -.

Зависимость между угловой и линейной скоростями Пример1.Маховое колесо диаметром в 320 см вращается с угловой скоростью 9 радианов в секунду. Определить линейную скорость в точке на внешней части обода колеса в м/мин. Решение.R=100cм; v=R;v=1609 cм/сек= см/мин=864 м/мин. Пример2.Определить угловую скорость шлифовального камня диаметром 90 см, если его линейная скорость на окружности равна 225 м/сек. Решение.R=45 см; = =500 1/сек.(рад/сек) ;= находим, что l=R.Подставим произведение R вместо l в формулу линейной скорости : v= Выразим зависимость между угловой ()и линейной (v) скоростями равномерного движения по окружности.Пусть за время t секунд материальная точка проходит по окружности радиуса R путь, равный l, и совершает при этом поворот вокруг центра окружности на угол. Тогда линейная скорость точки : v=, а угловая ее скорость :=. Из равенства = = = R. По этой формуле можно находить линейную скорость точки, зная угловую ее скорость и радиус окружности, по которой движется точка; по линейной скорости точки и радиусу окружности, по которой она движется, можно найти угловую скорость.

Соединение двух труб Практическая задача. Пусть жестянщику надо изготовить колено цилиндрической водосточной трубы диаметром D. Взяв лист железа шириной D ( без учета швов), он должен разрезать его по синусоиде и согнуть в виде трубы. В зависимости от угла α, под которым должно быть изготовлено колено, амплитуду А следует сделать равной D/2·tg(α/2).Аналогичным образом мастер поступит со вторым листом, затем соединит обе трубы по образовавшимся из синусоид эллипсам.

Периодические процессы и колебания в окружающем мире Многие процессы, протекающие в окружающем нас мире, по истечении некоторого промежутка времени более или менее точно повторяются. В течение месяца Луна меняет свой облик, превращаясь из тонкого серпа сначала в полукруг, потом в полный диск, а затем снова убывая до полного исчезновения. Ежедневно мы видим, как восходит Солнце, движется по небосводу и заходит за горизонт, с тем, чтобы на другое утро вновь появиться на востоке. А ночью звезды вращаются вокруг Полярной звезды, возвращаясь обратно по истечении суток. Механические колебания применяются для скорейшей укладки бетона специальными виброукладчиками, для просеивания материалов на виброситах и даже для почти безболезненного высверливания отверстий в зубах. Акустические колебания нужны для приема и воспроизведения звука, а электромагнитные- для радио, телевидения, связи с космическими ракетами. Электромагнитные колебания доносят до нас вести о сложнейших процессах, происходящих внутри звезд, о взрывах в отдаленных галактиках. С помощью электромагнитных колебаний советскими учеными были получены снимки обратной стороны Луны. Такие колебания сопровождают и биологические процессы, например передачу возбуждения по нервной ткани, работу сердца и мозга. Записывая их, врачи получают электрокардиограммы и энцефалограммы.

Гармонические колебания Одним из простейших видов колебаний является движение по оси проекции точки М, которая равномерно вращается по окружности. x= R cos( t+ ). Уравнение гармонического колебания имеет вид: y = A sin ( t+ α ) График гармонических колебаний называется синусоидой, поэтому в физике и технике сами гармонические колебания часто называют синусоидальными колебаниями.

Если мы сначала оттянем гирю на s 0 см,а потом толкнем ее со скоростью v 0, то она будет совершать колебания по более сложному закону: s=Asin(t+). Груз на пружине Возьмем, например, гирю, подвешенную на пружине и толкнем ее вниз. Отклонение гири от положения равновесия выражается формулой s= sin t. Здесь v 0 -скорость, с которой мы толкнули гирю,а = где m-масса гири,k- жесткость пружины( сила, которая нужна, чтобы растянуть пружину на 1 см).

Колебания маятника Колебания маятника тоже происходят по синусоидальному закону. Если эти колебания малы, то угол отклонения маятника приближенно выражается формулой: = 0 sin(t ), l-длина маятника, 0 -начальный угол отклонения. Чем длиннее маятник, тем медленнее он качается Изменение начального отклонения влияет на амплитуду колебаний маятника, период при этом не меняется.

Разряд конденсатора И в электрических цепях также возникают синусоидальные колебания,например, в цепи, изображенной в правом верхнем углу, где С- емкость конденсатора, U –напряжение на источнике тока, L –индуктивность катушки, - угловая частота колебаний в цепи.

Полярные координаты При решении многих задач удобнее пользоваться так называемыми полярными координатами: на плоскости выбирают неподвижную точку О (полюс) и выходящий из нее луч ОР (полярная ось). Положение точки М в этом случае определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса и углом у = угол РОМ. Числа r (полярный радиус) и (полярный угол) называются полярными координатами точки М. Рис. 16 Часто оказывается полезным рассматривать на плоскости полярную систему координат вместе с декартовой. Рассмотрим такое расположение, когда полюсом служит начало декартовой системы, а полярной осью - ось абсцисс ; рисунок сам подсказывает связь между полярными и декартовыми координатами точки:

у=m·arcsin(sin k(x-)). k=2 =0 m=1; -2 ;0,5 А в с

Кривые r= Первый лепесток будет заключен в секторе ( 0; ), т.к. в этом секторе При1 лепесток будет занимать сектор, больший 180, но меньший 360, а при для одного лепестка потребуется «сектор», превышающий 360. На рис. показан вид лепестков при =

I. r=sin3 ( трилистник ) (рис.1) II.r=1/2+sin3 (рис.2), III. r=1+ sin3 (рис.3), IV. r=3/2+ sin3 (рис.4). У кривой IV наименьшее значение r=0,5 и лепестки имеют незаконченный вид.(рис.IV в приложении). Таким образом при а 1 лепестки трилистника имеют незаконченный вид. Кривые, заданные уравнениями: r=a+sin3 в полярных координатахполярных координатах

Уравнения, найденные немецким математиком-натуралистом Хабенихтом для геометрических форм, встречающихся в мире растений. Например, уравнениям r=4(1+cos3 ) и r=4(1+cos3 )+4sin 2 3

при а=0; 1/2; 1;3/2 При а=0 ( рис.1),при а=1/2 (рис.2), при а=1 (рис.3) лепестки имеют законченный вид, при а=3/2 будет пять незаконченных лепестков., (рис.4). Рассмотрим кривые

Кривые Лиссажу. Кривые Лиссажу, характеризуемые в общем случае уравнениями: В общем случае кривая располагается внутри прямоугольника со сторонами 2а и2в. Кривые могут быть замкнутыми и незамкнутыми. Рассмотрим это на следующих примерах: Замкнутые кривые.

(y 2 -arcsin 2 (sinx))(y 2 -arcsin 2 (sin(x+ )))

Замена уравнений : x=sin3t; y=sin 5t уравнениями: x=sin 3t; y=sin5(t+3) превращает незамкнутую кривую в кривую замкнутую.

Решение системы неравенств Решение неравенства (y-sinx)(y+sinx)

(y 2 -sin 2 x)(y 2 -sin 2 (x+ ))(y 2 -sin 2 (x- ))

Прикладная направленность тригонометрии Как глава математического анализа Как глава геометрии У чение о тригонометрических функциях Р ешение треугольников Периодические процессы. Гармонические колебания Гармонические колебания (механические колебания, колебания маятника, разряд конденсатора, ис следование движения ползуна в кривошипно-шатунном механизме. задача на соединение двух труб, ). Биенияколебания маятникаразряд конденсатораис следование движения ползуна в кривошипно-шатунном механизме.задача на соединение двух труб, Зависимость между угловой и линейной скоростями. Расчет длины ременной передачи, соединяющей два шкива: ведущий и ведомыйРасчет длины ременной передачи, соединяющей два шкива: ведущий и ведомый. Определение коэффициента трения. Тригонометрия в артиллери и Задача на применение винтовой линии Построение интересных кривых в полярных координатах (розетки, геометрические формы, встречающиеся в мире растений ).розетки геометрические формы, встречающиеся в мире растений Построение интересных кривых в декартовых координатах (кривых Лиссажу, у=m·arcsin(sin k(x- ))).кривых Лиссажу у=m·arcsin(sin k(x- ))). Математические орнаменты на основе решений тригонометрических уравнений, неравенств, систем

КРОССВОРД 1. Наука об измерении треугольников 2.Автор работы «Пять книг о треугольниках всех видов» в XVI-XVII в. 3.Греческий астроном, основоположник тригонометрии 4.График гармонических колебаний 5.Математик, придавший тригонометрии современный вид 6. «синус дополнения» 7.Русский ученый математик, продолживший развитие тригонометрии в XIX веке 8.Колебания, задаваемые уравнением y=Asin(wt+ ) Проверь!

КРОССВОРД

В данной презентации максимально сжато рассказано о тригонометрии. Если вы хотите знать её в совершенстве, то это потребует не один год…

ДАННАЯ ПРЕЗЕНТАЦИЯ СОЗДАНА ШАЙХЛИСЛАМОВОЙ МАСТУРОЙ ГУЛЯМОВНОЙ- ПРЕПОДАВАТЕЛЕМ УФИМСКОГО ТОПЛИВНО- ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО КОЛЛЕДЖА УЧИТЕЛЬ ВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИ