содержание что из себя представляет треугольник (3 -5) периметр треугольника(6) какие треугольники называют равными(7 – 9) первый признак равенства треугольников(10 – 13) Перпендикуляр к прямой(15 – 17) медиана треугольника(18 – 19) биссектриса треугольника(20 – 21) высота треугольника(22 – 23) свойство равнобедренного треугольника(24 -28) утверждения о равнобедренном треугольнике(29) второй признак равенства треугольников(30 – 32) третий признак равенства треугольников(33 – 38) конец(39)

Треугольник - это геометрическая фигура состоящая из трех вершин и трех отрезков соединяющих эти вершины. Например в треугольнике АВС вершины будут А, В и С. Треугольники записываются так: АВС

У треугольника есть три стороны. Например в АВС сторонами будут являться: АВ, Они так и записываются. А В С ВСи СА

Так же у треугольников есть углы. Например у АВС углами будут являться: А, Записываются они так: А, В, и С. Но их можно записать и так: АВС, С А В Ви С ВАСи ВСА

Периметр треугольника записывается так: Р Периметр равен сумме длин всех сторон т. е. Р АВС= С В А АВ+ВС+СА

Фигуры называются равными если при наложении одной фигуры на другую все стороны и вершины совпадают как у АВС и А1В1С1. С В А С 1 В1В1 А 1

Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника( т. е. стороны и углы) соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников АВС и А1В1С1 записывается так: АВС= А1В1С1

Равенство двух треугольников можно установить не только при помощи наложения одной фигуры на другую, а сравнивая только некоторые их элементы. Существует три признака равенства треугольников.

По двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 У которых А = А 1. Можно наложить вершину А на вершину А 1. Стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 В 1 и А 1 С 1. поскольку АВ = А 1 В 1, АС = А 1 С 1, то сторона АВ совместится со стороной А 1 В 1, а сторона АС со стороной А 1 С 1. в частности совместятся точки В и В 1, С и С 1. Следовательно совместятся стороны ВС и В 1 С 1. итак треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит они равны. Теорема доказана. А В С В 1 А1А1 С 1 1 признак 2 признак 3 признак Равноб едр. треуго льник

Дано: АВ=АС, ВАD= DAC Доказать: АВС= АСD А В С D Доказательство Рассмотрим АВС и АСД 1) ВАD= DAC (по условию) 2)АВ=АС (по условию) 3)АD – общая АВС= АСД (по двум сторонам и углу между ними) Значит все соответствующие элементы треугольников равны

МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ И ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

Отрезок AH – перпендикуляр к прямой a. Точка H называется основанием перпендикуляра. A H a

Теорема Из точки, не лежащий на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один

Точка А – это точка не лежащая на прямой. отложим от луча ВС угол МВС равный углу АВС Один угол можно наложить на другой так что стороны углов совместятся Мы получим точку А1 лежащую на луче ВМ равную точке А Обозначим буквой Н точку пересечения прямых АА1 и ВС Отрезок АН это перпендикуляр к прямой ВС Если предположить что к прямой ВС можно провести еще один перпендикуляр АН1 то он будет пересекаться с перпендикуляром АН а это не возможно. Теорема доказана В С М А Н А1А1

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположно й стороны. AM – медиана треугольника. A M

Любой треугольник имеет три медианы. Например в треугольнике АВС медианами будут являться: СМ1 – проведенная к стороне АВ ВМ2 - проведенная к стороне АС АМ3 – проведенная к стороне ВС Мы можем видеть что все три медианы пересеклись в одной точке. ВМ3М3С М1 А М2

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. AA 1 – биссектриса треугольника ABC. A1A1 B C A

Любой треугольник имеет три биссектрисы Например в треугольнике ЕСД биссектрисами являются: ЕЕ1 – биссектриса соединяющаяся со стороной ДС СС1 – биссектриса соединяющаяся со стороной ЕД ДД1 – биссектриса соединяющаяся со стороной ЕС D C C1C1 D1D1 E1E1 Е Все три биссектрисы пересекаются в одной точке

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противолежащий прямой. AH – высота треугольника ABC. H A BC

Любой треугольник имеет три высоты. Например в треугольнике АВС высотами будут: АН1 – проведенная к стороне ВС ВН2 – Проведенная к стороне АС СН3 – проведенная к стороне АВ H3H3 H1H1 H2H2 Мы можем увидеть что все тори высоты пересеклись в одной точке A BC

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами. третья сторона называется основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС и докажем что угол В равен углу С. АД – биссектриса треугольника АВС Треугольники АВД и АСД равны по первому признаку равенства треугольников.по первому признаку равенства треугольников В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы Теорема доказана В Д С А 1 признак

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС где ВС основание, а АД – биссектриса. Из равенства треугольников АВД и АСД следует что ВД=ДС угол ВДА равен углу АДС Равенство ВД=ДС означает что Д середина отрезка ВС и по этому АД – медиана треугольника Так как углы ВДА и АДС смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно отрезок АД является так же высотой треугольника. Теорема доказана В Д С А

1. Высота равнобедренного треугольника, проведнная к основанию, является медианой и биссектрисой. 2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

По стороне и двум прилежащим к ней углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то эти треугольники равны.

Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1 у которых АВ=А1В1, А= А1, В= В1. Докажем что треугольники равны. Наложим треугольник АВС на треугольникА1В1С1. Вершину А совместим с вершиной А1 Наложим сторону АВ на равную ейА1В1. так чтоб вершины С и С1 оказались по одну сторону от прямой. Вершина В наложится на вершину В1 В следствие сторона АС наложится на луч А1С1, а сторона ВС на луч В1С1 По этому вершина С – общая точка сторон АС и ВС – окажется лежащей как на луче А1С1, так и на луче В1С1 и, следовательно совместится с общей точкой этих лучей – вершиной С1. Значит совместятся стороны АС и А1С1, ВС и В1С1. Треугольники полностью совместились значит они равны. Теорема доказана А В С А В С

По трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника то такие треугольники считаются равными.

Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1. У которых АВ=А1В1, АС=А1С1 и ВС=В1С1. докажем что треугольники равны. Приложим треугольник АВС к треугольнику А1В1С1. так чтоб вершина А совместилась с вершиной А1. Вершина В с вершинойВ1 Вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1. возможны три случая

Так как по условиям теоремы АС и А1С1, ВС и В1С1 равны Тогда треугольники АС1С и В1С1С – равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника углы 1 и 2, 3 и 4 – равны. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника Поэтому угол А1СВ1 равен углу А1С1В1. Итак АС=А1С1, ВС=В1С1, угол С равен углу С1. Следовательно треугольники АВС и А1В1С1 равны по первому признаку равенства треугольников.первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана А 1( А ) В 1( В ) С С1С

Так как по условиям теоремы АС и А1С1 равны значит треугольник СА1С1 – равнобедренный. Значит угол С равен углу С1 как углы при основании равнобедренного треугольника Так как по теореме СВ равно С1В1 значит В1А1 высота треугольника СА1С1. она же медиана и биссектриса. Из этого следует что угол СА1В1 равен углуВ1А1С1. Так как СА равно А1С1, угол С равен углу С1 и угол СА1В1 равен углуВ1А1С1 то треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана А 1( А ) В 1( В ) С С1С1

По условию теоремы АС равно А1С1, а ВС равно В1С1. Значит треугольники СА1С1 и СВ1С1 – равнобедренные. Значит углы А1СС1 и А1С1С равны. И углы В1СС1 и В1С1С тоже равны. Из этих двух условий следует что углы В1СА1 и В1С1А1 тоже равны. Так как СВ равно С1В1, АС равно А1С1 и углы В1СА1 и В1С1А1 равны то треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана В 1( В ) А 1( А ) С1С1 С