Виет и его теорема через призму истории Проектно-исследовательская работа по алгебре и истории учеников 8 классов В и Г МОУ «Средняя общеобразовательная школа 24» г.Северодвинск 2009г.

Цель проекта Способствовать формированию единого, а не фрагментарного представления о развитии человеческой общности в заданный исторический период. Показать взаимную связь общественного развития с развитием науки того времени. Проследить за отражением политических событий на жизни конкретных ученых.

Задачи проекта Познакомиться с информацией о решении уравнений в процессе формирования науки алгебры. Сформировать представление об исторической эпохе XVI-XVII веков. Испания. Франция. Узнать, какое участие принимал Франсуа Виет в исторических событиях. Найти ответ на вопрос, почему Виета называют отцом современной алгебры.

Основополагающий вопрос Что двигало ученых в такое непростое время заниматься наукой, даже под угрозой смерти?

О чем свидетельствуют клинописные тексты Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняне ( около 2 тыс. лет до н.э.). Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями в виде уравнений. Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями в виде уравнений.

у2у2 3у 9 Как греки решали уравнение y 2 + 6y - 16 = 0 3 у у 3 Выражения у 2 + 6y + 9 и геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение и уравнение y 2 + 6y = 0 – одно и то же уравнение. Получаем: (у + 3) 2 = 25; у + 3 = 5; у = 2. Второй корень – отрицательный, но греки отрицательных чисел не знали: у+3=-5; у=-8. y 2 + 6у = 16 или у 2 + 6y + 9 =

Диофант жил в четвертом веке нашей эры. Ученый отошел от традиционных в греческой математике геометрических проблем и занялся алгеброй. Основное его произведение Арифметика". Сохранилось шесть томов из предполагаемых тринадцати; в них содержится 189 уравнений с решениями. Автор интересуется только одним решением: положительным и рациональным. Диофант не применял общих методов решения уравнений: методы у него меняются от одного уравнения к другому. При выборе коэффициентов уравнений, чтобы получить желаемое рациональное и положительное решение, Диофант применяет много остроумных приемов.

Учебник математики Ал-Хорезми, выпущенный им около 830 года под заглавием Китаб аль-джебр валь мукабала", посвящен в основном решению уравнений первой и второй степени. Этот математик уравнения решает также геометрически. Вот пример, ставший знаменитым, из «Алгебры» ал - Хорезми: х 2 +10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39». Как решал квадратные уравнения Ал-Хорезми?

На сторонах квадрата со стороной х строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2½. Площадь каждого прямоугольника равна 2½х. Полученную фигуру дополняют до нового квадрата, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них равна 2½, а площадь 6¼. Площадь нового квадрата можно представить как сумму площадей: первоначального х², четырех прямоугольников (42½x=10x) и четырех квадратов площадью 6¼, т.е. S=x²+10x+25. Заменяя х²+10х числом 39, получим S =3 +25=64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ=8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим х = 8 - 2,5 - 2,5 = 3. х2х2 АD СВ

Узбекский математик, поэт и врач Омар Хайям уже в IX веке систематически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Хайям в своём алгебраическом трактате говорит, что он много занимался поисками точного решения уравнений третьей степени.

Квадратные уравнения в Европе XIIIXVII веков Способы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовал распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVIXVII вв. и частично XVIII.

Создание инквизиция В западной Европе, раздробленной на множество феодальных владений, католическая церковь была единственной сплоченной организацией. Это позволяло ей вести борьбу за господство над светскими государствами. Наивысшего могущества власть католической церкви достигла в конце XII – начале XIII века. Среди горожан, рыцарей, простых священников и монахов время от времени появлялись люди, открыто критиковавшие церковь. Таких людей духовенство называло еретиками. Еретик в переводе с греческого значит «противник господствующего вероучения церкви»

Для усиления своей власти и борьбы с еретиками, для того, чтобы не допустить свободомыслия в XIII веке была создана специальная организация, специальный суд - инквизиция.

ХУ век в западной Европе был веком ожесточенных религиозных волнений, и к началу XVI века целый ряд стран отпал от католической церкви. В это время огромную власть в Европе имела католическая церковь, это была власть над душами и мыслями людей. Всесильная католическая церковь преследовала и убивала всякую мысль, в которой усматривала отклонение от своих учений. Церковный суд всех, попавших под подозрение, карал вплоть до сожжения на костре, а имущество казненных отбирал в пользу церкви. Не один ученый погиб в руках инквизиции. В их числе были и математики.

Исследование исторических фактов жестокости и насилия инквизиции над душами и мыслями людей

Были замучены и сожжены испанский математик Вальмес г. польский астроном Николай Коперник г. итальянский астроном Джордано Бруно г. итальянский астроном, физик, математик, филолог, поэтом и критик Галилео Галилей г. французский философ Лючилио Ванини-1620г. Был приговорен к сожжению на костре французский математик адвокат, политик и королевский советник Франсуа Виет И этот печальный список можно продолжать... Были присуждены к сожжению на костре научные труды французского математика, философа, физика, физиолога Рене Декарта. А сколько неизвестно еще имен ученых, труды которых безвозвратно погибли в огне костров инквизиции.

Великий польский астроном Николай Коперник (1473–1543 гг.) совершил переворот в науке, отказавшись от принятого в течение тысячелетий учения о неподвижности Земли. 30 лет наблюдал он небесные светила с помощью простых приспособлений. Сложные вычисления помогли ему сделать вывод: Земля вращается вокруг Солнца и вокруг своей оси. Надо ли об этом заявить миру, считавшему, что Земля неподвижна? Выставить себя на посмешище?… И вот он решился. Свои знания надо оставить людям. Сомнений в правоте не было. В 1543 году книга О вращении небесных тел напечатана. Коперник был при смерти. Умирал тяжело, медленно. Когда 23 мая 1543 года друзья привезли книгу, он был без сознания. Сегодня никто не знает, где могила Николая Коперника, но его книга осталась. Учение нашло своих последователей.

Одним из последователей учения Коперника был Джордано Бруно, который пришёл к правильному материалистическому выводу о бесконечности Вселенной и о том, что Солнце является центром лишь Солнечной системы, одного из бесчисленных миров, существующих во Вселенной. В конце 16 в. развернулась ожесточённая борьба католической церкви против геоцентризма, поддерживаемого христианской церковью. Бруно, обвинённый римской инквизицией в ереси, был сожжён на костре.

За пропаганду учения Коперника, пожизненному домашнему заключению подвергся Галилео Галилей. Научные открытия Г. Галилея явились важной физической и философской аргументацией в пользу гелиоцентрической Системы мира. Его телескопические наблюдения подтвердили, что Солнце - это лишь одна из бесчисленного множества звёзд. Это привело Галилея к серьезному конфликту с католической церковью. Католическая церковь жестоко преследовала учёных, развивавших и распространявших гелиоцентрические системы мира., направляла против сторонников новых представлений о Вселенной террор инквизиционных трибуналов. В 1616г. Был издан декрет инквизиции, по которому защита учения Коперника рассматривалась как проявление еретических воззрений. В 1632 против Галилея был возбуждён судебный процесс.

Испанский математик Вальмес в 1486 году как-то в семейном кругу обмолвился о том, что нашел формулу для решения уравнения четвертой степени. В числе гостей оказался влиятельный инквизитор. Услышав слова Вальмеса, он заявил, что волей божьей решать эти уравнения не дано и найти формулу можно было только с помощью дьявола. В ту же ночь Вальмес был брошен в тюрьму, а через три недели сожжен на костре за связь с дьяволом. И только через 100 лет решение этих уравнений было вторично.

Кто Вы, господин Виет? Франсуа Виет по образованию юрист. Он много занимался адвокатской деятельностью, а с 1571 по 1584 г. был советником королей Генриха III, а после его смерти - Генриха IV. Франсуа Виет

Французский математик Франсуа Виет был на волосок от костра В ту же пору наиболее могущественное в Европе государство, инквизиторская Испания, вела победоносную войну с Францией. Инквизиторская Испания пользовалась в войне с Францией сложным шифром, который позволял ей свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эти переписки все время оставались неразгаданными.. Король Франции Генрих IV обратился к Виету с просьбой разгадать тайну шифра. Виет работал дни и ночи в течение двух недель, пока поставленная задача не была решена. Виет разгадал тайну испанского шифра, тем самым спас свое отчество от испанского ига, так как французы, зная в дальнейшем планы испанцев, с успехом предупреждали их наступления. Шифр состоял из 500 символов, и испанский король Филипп II был совершенно уверен, что никто в мире не сумеет его прочесть. Поэтому, когда тайна шифра была раскрыта Виетом, Филипп II обратился к римскому папе с жалобой на то, что французы прибегают к колдовским ухищрениям в борьбе с ним. Инквизиция обвинила Виета в том, что он прибегнул к помощи дьявола, и приговорили к сожжению его на костре, но Виет не был выдан инквизиции.

Франция. XVI век В это время во Франции не было сильной королевской власти. Сменяли друг друга последние представители династии Валуа. В 1562 году во Франции начинаются религиозные войны между католиками и гугенотами, которые длятся более 30 лет. Франция стала ареной борьбы двух религий. Религиозные войны толкнули страну на путь беды. Разгорелось дикое насилие. Католики, на чьей стороне был король, создавали свои богатства, устраивали многочисленные процессии, убивали гугенотов. Они не щадили ни женщин, ни детей. Все это не считалось грехом – ведь гугеноты были еретиками, следовательно, их надо уничтожать. Руководителем католиков были адмирал Колиньи и король Наваррский Генрих Бурбон Карл IX,

Король Франции того времени – Карл IX, чтобы примерить католиков и гугенотов, решил выдать замуж за Генриха свою сестру Маргариту. Свадьбу назначили на август 1572 года. По этому случаю в Париж съехались все вожди гугенотов со своими свитами. Однако руководители католиков и Екатерина Медичи (мать правившего короля, властная, хитрая интриганка – она, фактически, управляла страной за спиной слабовольного сына) не хотели допустить усиления влияния гугенотов на Генриха Наваррского. Они решили воспользоваться тем, что гугеноты съехались в Париж, и уничтожить их. В ночь перед празднованием Святого Варфоломея (24 августа) произошло страшное событие. Дома, где находились гугеноты, тайно пометили крестами. Ударил колокол – это и был призыв к началу расправы. Началась ночь Святого Варфоломея. Современники посчитали, что было убито человек. После этих событий протестантизм во Франции был запрещен. Сам Генрих Наваррский спасся лишь потому, что принял Католическую веру. Будучи умным, гибким политиком, впоследствии он стал королем Франции. Произошло– в 1594 году. Все свои силы он использовал для достижения компромисса между католиками и протестантами, чтобы прекратить религиозные войны и добиться единства страны. Ночь Святого Варфоломея 24 августа 1572г.

Благодаря трудам Виета открылась возможность выражения свойств уравнений и их корней общими формулами. Виет нашел общие методы решений уравнений второй, третьей и четвертой степени, унифицировал методы, найденные раннее Ферро и Феррари, а также вывел общеизвестные теперь формулы суммы и произведения корней квадратного уравнения (формулы Виета). Впервые свои исследования по математике Виет опубликовал в книге "Математический канон" в 1574 году. Эта книга печаталась за счет Виета и поэтому вышла очень небольшим тиражом. Его работы были написаны столь трудным для понимания математическим языком, что не нашли такого распространения, которого заслуживали. Все свои математические труды Виет опубликовал в 1591 году в книге Isagoge in artem analiti-cam". Они свидетельствовали о всесторонности его знаний. Спустя 40 лет после смерти Виета его произведения были изданы под общим заглавием Opera mathematica.

О теореме Виета Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. «Если В + D, умноженное на А минус А 2, равно BD, то А равно В и равно D».

Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид. Ф.Виет

Как к Виету пришла слава Голландский ученый Андриан Ромен вызвал на поединок всех математиков мира, предложив им решить уравнение 45 степени. Коэффициенты были очень большими числами, один из них был равен летний Виет указал 23 корня уравнения, остальные 22 корня были отрицательные, а Виет отрицательных чисел на признавал.

"Виет в течение большей части своей жизни так был занят своей юридической деятельностью, что трудно представить себе, как он справлялся со своими большими математическими работами, являющимися плодом глубоких математических исследований и свидетельствующими об основательном изучении древних авторов». Датский историк Цейтен, XIX в.

" Не было никогда человека в большей степени родившегося математиком... Человек большого ума и мудрости, один из самых ученых математиков" - писал о Виете научный журнал того времени.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду х 2 + вх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. немецким математиком Михаэлем Штифелем.

Итальянский математик Джеромо Кардано С 1534 года Кардано начал чтение лекций по математике и медицине в Миланском университете.. Работы Кардано сыграли большую роль в развитии алгебры; одним из первых в Европе он стал допускать отрицательные корни уравнений. С именем Кардано связывают формулу решения неполного кубического уравнения. Одиннадцать лет спустя он издал свой значительный труд по математике, озаглавленный Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus". Именно этот труд обусловил выдающееся место Кардано в истории развития математики. Титульный лист «Великого искусства» Кардано (1545) с его портретом

Итальянский математик Тарталья Труды посвящены вопросам математики, механики, баллистики, геодезии, фортификации и др. В сочинении "Новая наука" (1537г.) он показал, что траектория полёта снаряда на всём протяжении есть кривая линия (парабола) и что наибольшая дальность полёта снаряда соответствует углу в 45°. Другая его важная работа - "Общий трактат о числе и мере" (части 1-6, г.), который содержит обширный материал по вопросам арифметики, алгебры и геометрии. Имя Тарталья, наряду с именем Дж. Кардано, связано с разработкой способа решения кубических уравнений. т

Рене Декарт Вначале Декарт готовился к военной карьере, но увлекся математикой, которая привлекла его достоверностью своих выводов. Но и ему не было условий для научной работы. Иезуиты выступают против учения Декарта, угрожают ему расправой и заставляют покинуть Францию. Двадцать лет он живет в Голландии, последние два года жизни он провел в Швеции, создавая Академию наук. Климат Швеции подорвал здоровье ученого, и он умирает вдали от родины от воспаления легких. Декарт внес большой вклад в геометрию, алгебру. С его именем связаны такие понятия, как координаты, произведение, парабола, овал и другие. Декарт всю жизнь опасался неодобрения со стороны могущественного ордена иезуитов. Еще свежи в памяти страшные преследования инквизиции. На рубеже сем­надцатого и восемнадцатого столетий на площади Флоры был заживо сожжен Джордано Бруно. Спустя двадцать лет в Тулузе философу Лючилио Ваиини, прежде чем сжечь его на костре, клещами вырвали язык. «Священной» инквизицией осужден великий Галилей. Все это знал и болезненно переживал Декарт. И, ко­нечно, боялся преследований иезуитов. Декарт был мишенью для яростных нападок церковников. Впоследствии произведения Декарта были присуждены к сожжению как еретические. «Алгебраические обозначения получают усовершенствование у Виета и Декарта; начиная с Декарта алгебраическая запись мало чем отличается от современной». Андронов А.А., советский математик

Кто вывел формулу корней квадратного уравнения? Это сделал голландский математик Жирар Альберт в своем главном труде «Новые открытия в алгебре» в 1629 году. Жерар дал геометрическое объяснение отрицательным корням уравнения как направленным отрезкам, первым признал нуль корнем уравнения, и, следовательно, числом.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывает, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Штифель (1486 – 1567, Германия) в 1544 году сформировал общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду х 2 + b x = c при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b и c. Франсуа Виет (1540 – 1603, Франция) вывел формулы решения квадратного уравнения в общем виде, однако он признавал только положительные числа. Итальянские учёные Тарталья ( ), Кардано ( ), Бомбелли ( ) среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. В XVII веке благодаря трудам Жирара ( , Голландия), Декарта ( , Франция), Ньютона ( , Англия) и других учёных, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. Диофант IV в. н.э. Л. Фибоначчи XIII век н.э. Эти ученые внесли достойный вклад в развитие теории решения квадратных уравнений И.Ньютон т Тарталья Штифель

Выводы Развитие науки о решении квадратных уравнений прошло длинный и тернистый путь. Только после трудов Штифеля, Виета, Тартальи, Кардано, Бомбелли, Жирара, Декарта, Ньютона наука о решении квадратных уравнений приняла современный вид. Ученые не могли оказаться вне событий, которыми жило общество того времени. И Виет оказался вовлечен в водоворот этих событий. С одной стороны – он занимался юридической деятельностью, а с другой - научной деятельностью.

Выводы Что же двигало ученых в такое непростое время заниматься наукой, даже под угрозой смерти? Наверное, прежде всего, это – пытливость человеческого ума, которая является ключом к развитию науки, не дают покоя во все времена людям мыслящим, любознательным. Разум. Понять себя, свою сущность, свое место в мире люди стремились во все времена. Загляните в себя, может, страдает ваша природная любознательность, потому Вы что уступили повседневности, лености? Судьбы многих ученых – примеры для подражания. Не все имена хорошо известны и популярны. Задумайтесь: каков я для окружающих меня близких людей? Но самое главное – как я сам к себе отношусь, достоин ли уважения? Подумайте об этом…