Выполнил ученик 10 класса Саухин Артур

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n – 2) · 180º, где n – число сторон многоугольника. Сумма углов правильных n-угольников, сходящихся в одной вершине паркета, равна 360º. Тогда т. е. или где k – число углов, сходящихся в одной вершине. Отсюда k = 2n/(n – 2). Если n = 3, то k = 6, т. е. в одной вершине паркета могут сходиться 6 правильных треугольников; если n = 4, то k = 4, т. е. в одной вершине паркета могут сходиться 4 квадрата; если n = 5, то k = 3,3, т. е. не существует паркета из правильных пятиугольников; если n = 6, то k = 3, т. е. в одной вершине паркета могут сходиться 3 правильных шестиугольника; если n = 7, то k = 2,8, т. е. не существует паркета из правильных семиугольников. И так далее. Теперь рассуждаем следующим образом: >2, так как внутренний угол правильного многоугольника меньше 180º; значит, > 0, или > 0. По смыслу задачи значения n, k и могут быть только целыми, поэтому 4 делится нацело на n – 2. Отсюда n = 3,4,6.

Придуманное в 1936 году немецким математиком Х. Фодербергом

«Даны три равновеликие друг другу фигуры – правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Какая из данных фигур имеет наименьший периметр?» Пусть S – площадь каждой из названных фигур, а 3, а 4, а 6 – сторона соответствующего правильного n-угольника. Тогда S = а 3 2 3/4 – площадь правильного треугольника, S = а 4 2 – площадь квадрата, S = 3 а 6 2 3/2 – площадь правильного шестиугольника. Вычислим периметр P n каждой фигуры, зная ее площадь: а 3 = P 3 = а 4 =, P 4 = 4, а 6 =, P 6 = 6. Для сравнения периметров фигур найдем их отношение P 3 : P 4 : P 6 = : 4 : 6 = 1: 1: 0,877 : 0,816.

Рассмотрим, как получается ячейка. Сначала построим изображение правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1. Проведем диагонали F 1 B 1, B 1 D 1, F 1 D 1 верхнего основания призмы и на оси призмы ОО 1 возьмем некоторую точку S(рис.). Через прямые F 1 B 1, B 1 D 1, F 1 D 1 и точку S проведем три плоскости, которые отсекают от призмы три равные треугольные пирамиды MB 1 F 1 A 1, B 1 LD 1 C 1, D 1 KF 1 E 1. получившийся многогранник SABCDEFF 1 MB 1 LD 1 K и является пчелиной ячейкой. На рис. показано, как соприкасаются ячейки в улье; их общая часть является ромбом.