Конференция «Наследие Пифагора»
БИОГРАФИЯ ПИФАГОРА ( г. до н.э.) На поле жизни, подобно сеятелю, ходи ровным и постоянным шагом. Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом. Пифагор
Заповеди школы Пифагора 1.Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться. 2. Не делай никогда того, чего не знаешь. Но научись всему, что следует знать. 3. Не пренебрегай здоровьем своего тела. 4.Приучайся жить просто и без роскоши. 5. Не закрывай глаза, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день.
Совершенные числа - это такие числа, которые равны сумме своих делителей (исключая само число). 6 = 1+2+3, 28 = Дружественные числа- это числа, каждое из которых равно сумме собственных делителей другого числа =284, а =220
1 - огонь, 2 - земля, 3 - вода, 4 - воздух =10. Число 10 вбирает в себя весь мир. Клятва числом 36 36=( )+( )
Египетский треугольник Египетский треугольник
На рис. 2 изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2 = a2 + b2. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.
Рис. 12 иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати, XII в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ!
Доказательство Гарфилда На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна во втором Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.
Эти доказательства основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе. На рис. 4 приведено доказательство теоремы Пифагора с помощью разбиения ан-Найризия – средневекового багдадского комментатора «Начал» Евклида. В этом разбиении квадрат, построенный на гипотенузе, разбит на 3 треугольника и 2 четырехугольника. Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C.
На основе доказательства ан-Найризия выполнено и другое разложение квадратов на попарно равные фигуры (рис. 5, здесь ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C).
Еще одно доказательство методом разложения квадратов на равные части, называемое «колесом с лопастями», приведено на рис. 6. Здесь: ABC– прямоугольный треугольник с прямым углом C; O – центр квадрата, построенного на большом катете; пунктирные прямые, проходящие через точку O, перпендикулярны или параллельны гипотенузе.
Рис. 11 иллюстрирует еще одно более оригинальное доказательство, предложенное Гофманом. Здесь: треугольник ABC с прямым углом C; отрезок BF перпендикулярен CB и равен ему, отрезок BE перпендикулярен AB и равен ему, отрезок AD перпендикулярен AC и равен ему; точки F, C, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, так как ABF=ECB; треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим
Существует много доказательств теоремы Пифагора, проведенных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочетания различных методов. Завершая обзор примеров различных доказательств, приведем еще рисунки, иллюстрирующие восемь способов, на которые имеются ссылки в «Началах» Евклида (рис. 16 – 23). На этих рисунках Пифагорова фигура изображена сплошной линией, а дополнительные построения – пунктирной.
Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика ХП в. Бхаскары помещен чертеж (рис. 4) характерным для индийских доказательств l словом «смотри!». Именно если в квадрате со стороной с два треугольника (рис. а) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис. б), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и Ь, т.е. c = a + Ь Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате "Сульва« решили прямоугольный треугольник и квадраты, построенные на его катетах, или, иначе, фигуры, составленные из 16 одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников и потому укладывающиеся в квадрат. Такова лили. малая толика богатств, скрытых в жемчужине античной математики теореме Пифагора.
Гиппократовы луночки Гиппократовы луночки-фигуры, ограниченные дугами двух окружностей, и притом такие, что по радиусам и длине общей хорды этих окружностей с помощью циркуля и линейки можно построить равновеликие им квадраты. Из обобщения теоремы Пифагора на полукруги следует, что сумма площадей розовых луночек, равна площади голубого треугольника. Поэтому, если взять равнобедренный прямоугольный треугольник, то получатся две луночки, площадь каждой из которых будет равна половине площади треугольника. Пытаясь решить задачу о квадратуре круга( построение квадрата, равновеликого данному кругу), древнегреческий математик Гиппократ( 5 в. до н.э.) нашел еще несколько луночек, площади которых выражены через площади прямолинейных фигур. Полный перечень гиппократовых луночек был получен лишь в вв. благодаря использованию методов теории Галуа.
О пифагорейских тройках (1) + = ( x, y, z - натуральные числа) Таковы, например, числа 3, 4, 5., где m > n - натуральные числа.
Полезно знать сведения о пифагорейских тройках. 1. Если числа a, b, c пифагорейская тройка, то числа ka, kb, kc тоже пифагорейская тройка. Например: а) 5; 12; 13 (k = 1); б) 10; 24; 26 (k = 2); в) 15; 36; 39 (k = 3); г) 2. Числа пифагорейская тройка. Наприме р:
Новое о пифагорейских тройках. Можно составить сколько угодно дробных пифагорейских троек такого вида, где числитель дроби равен целой части числа, а знаменатель любое положительное число, одинаковое для всей тройки. Например: а) 3; 4; 5 пифагорейская тройка; т. е. 3,15; 4,2; 5,25 пифагорейская тройка; б) 8; 15; 17 пифагорейская тройка; т. е. 9,6; 18; 20,4 пифагорейская тройка.
Излюбленной геометрической фигурой пифагорейцев была пентаграмма или пифагорейская звезда. При встрече они рисовали ее на песке, тем самым приветствуя друг друга. Пентаграмма служила им паролем и была символом здоровья и счастья.
МУЗЫКАЛЬНЫЕ СЮЖЕТЫ АНТИЧНОСТИ
Науки от Пифагора философ тот, кто пытается найти, выяснить. Ученики Пифагора делились на две большие группы, первую из которых составляли последователи и продолжатели дела (их называли пифагорейцами), а вторую - подражатели (пифагористы,). Одним из любимых его изречений было: Мы должны всеми силами стремиться к истреблению во всех отсчитывались вещах излишеств и огнем и мечом изгонять из тела болезни, из души - невежество, из живота - обжорство, из городов - призывы к бунту, из семьи - раздоры. Путь к здоровой и добродетельной жизни Пифагор советовал начинать с правильного соотношения питья, еды и отдыха… порядка самого приготовления пищи и напитков и выбора того, что для этого нужно
Человек не должен быть ни слишком веселым, ни излишне мрачным Для преодоления невзгод необходимо было иметь ясный ум и способность спокойного, не отягощенного эмоциями анализа случившегося. Путь же к ясности ума лежал через тренировку памяти. Вслед за контролем над эмоциями тщательному анализу подвергались желания человека. Пифагор учил, что никогда не нужно позволять человеку делать все, что ему захочется. Все люди знают, чего они хотят, но мало кто знает, что ему нужно. Пифагором был разработан комплекс упражнений для тренировки памяти. До нас дошло одно и, по-видимому, самое простое упражнение. Пифагореец, пробудившись утром ото сна, должен был не вставать с постели до тех пор, пока не припомнит в подробностях всю последовательность событий дня минувшего, а если позволяло время, то и предшествовавшего ему дня. Пифагор также считал полезным, чтобы человек ежедневно размышлял о Боге (богах), о том, что Он существует и что Он любит человека, и наблюдает за ним. Много тайн видимого и невидимого мира открыл человечеству Пифагор. Но сегодня мало кто вспоминает о нем как о Великом Служителе и Врачевателе, несшим свой светильник среди жизни под градом непонимания, и мало кто знает, что священное число Пифагора есть равновесие Красоты
Краткая биография Был сыном Мнесарха. Однажды Мнесарх приплыл в неурожайный год на остров Самос по своим торговым делам. Там на острове и родился его сын Пифагор, которого отец часто брал с собой в деловые поездки. Благодаря им у мальчика развились любознательность и желание познать новое. Пифагор - это не имя, а прозвище, данное ему за то, что он высказывал истину так же постоянно, как дельфийский оракул («Пи фагор» значит «убеждающий речью». Этимология связывает наречение с культом Аполлона Пифийского). Пифагор сам ничего не писал. В результате первой же прочитанной лекции Пифагор приобрел 2000 учеников, которые не вернулись домой, а вместе со своими женами и детьми образовали громадную школу и создали государство, названное «Великая Греция», в основу которого были положено законы и правила Пифагора, почитаемые как божественные заповеди. Пифагор был первым, кто назвал свои рассуждения о смысле жизни философией (любомудрием). Был склонен к мистификациям и «демонстративности» в поведении (однажды Пифагор спрятался под землей, а обо всем происходящем узнавал от матери. Потом, иссохший, как скелет, он заявил в народном собрании, что был в Аиде, и показал удивительную осведомлённость о земных событиях. За это растроганные жители признали его богом). Никогда не плакал и вообще был недоступен страстям и волнению. Пифагор имел обыкновение объяснять людям, что он происходит из семени лучшего сравнительно с человеческим Древнегреческий философ.
Штрихи к портрету Пифагор даже подвергнул себя операции обрезания, чтобы быть допущенным к знакомству с тайной египетской наукой, чего ему не разрешили бы при невыполнении этого условия. Раз шел Пифагор и видит: визжит от побоев собачка. Жаль ему стало, и он слово такое изрек: «Полно! Не бей! В этом визге покойника милого голос: Это родной мне щенок, друга я в нем узнаю». Пропаганда учения Пифагора, уравнивающего всех свободных граждан по меркам высших духовных ценностей, серьезно обеспокоила власть имущих... Заговор возглавил богатый и знатный житель Кротона Килон, властолюбивый и обладавший тяжелым нравом. В свое время он был оскорблен Пифагором, который не захотел поделиться с ним своими знаниями, и даже осмелился прогнать столь знатного господина. И вот однажды, когда Пифагор уехал на Делос навестить своего заболевшего учителя, дом, в котором собрались его ученики, был подожжен со всех сторон Килтоном и другими заговорщиками. Только двое спаслись из горящего дома и от рук убийц. Спасаясь от преследователей, Пифагор поселился в Метапонте. Но и здесь его настигла рука убийцы...
АФОРИЗМЫ И ИЗРЕЧЕНИЯ Числу же все подобно. Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом. Мысль превыше всего между людьми на земле. Что есть мудрость? Знание порядка. Если желаешь быть мудрым в течение твоей жизни, все поставь на своем месте. Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает. Избери себе друга; ты не можешь быть счастлив один: счастье есть дело двоих. Если не можешь иметь верного друга, будь сам себе другом. На поле жизни, подобно сеятелю, ходи ровным и постоянным шагом.
Легенда о смерти Пифагора Сонную тишину ночного Метапонта прорезал крик. Послышалось падение на землю тяжелого тела, топот убегающих ног, и все смолкло. Когда ночной караул прибыл на место происшествия в колеблющемся свете факелов все увидели распростертого на земле старца, и неподалеку от него - мальчик 12 лет с лицом, перекошенным от ужаса. - Кто это? - спросил начальник караула у мальчика - Это Пифагор, - ответил тот. - Кто такой Пифагор? Среди жителей города нет гражданина с таким именем. - Мы недавно прибыли из Кротона. Мой господин должен был скрываться от врагов, и выходил только ночью. Они выследили его и убили. - Сколько их было? - Я этого не успел заметить в темноте. Они отбросили меня в сторону и накинулись на него. Начальник караула стал на колени и приложил ухо к груди старца. - Конец, - сказал начальник.
" Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора..." О Пифагоре сохранились десятки легенд и мифов, с его именем связано многое в математике, и в первую очередь, конечно, теорема. носящая его имя, которая занимает важнейшее место в школьном курсе геометрии.