Приложение производной к исследованию функции
План I. Исследование функции на монотонность: 1. Определение монотонности 2. Необходимый и достаточный признаки возрастания, убывания функции 3. Экстремумы функции 4. Алгоритм исследования функции на экстремумы и промежутки монотонности II. Исследования функции на выпуклость, вогнутость: 1. Определение выпуклости функции вверх и вниз 2. Достаточное условие выпуклости функции на интервале 3. Точка перегиба 4. Достаточный признак существования точки перегиба III. Асимптоты
1. Монотонность 1. Монотонность монотонной Переменную величину называют монотонной, если она изменяется только в одном направлении, т.е. либо только возрастает, либо только убывает. Очевидно, что движение точки х в сторону положительного направления оси абсцисс является монотонно возрастающим, а в противоположную сторону - монотонно убывающим
Приведем теперь строгое определение монотонности: Функция y = f(x) называется монотонно возрастающей на интервале (a, b), если для любых х 1 и x 2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x 2 > х 1 следует неравенство f(x 2 ) > f(x 1 ). Функция y = f(x) называется монотонно убывающей на интервале (а, b), если для любых х 1 и x 2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x 2 > x 1 следует неравенство f(x 2 )< f(x 1 ). Естественно, что интервал (a,b) предполагается взятым из области определения функции.
2. Необходимый и достаточный признаки возрастания, убывания функции Th: Th: Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на некотором интервале, то ее производная неотрицательная (неположительная) на этом интервале. Th: Th: Если производная функции на некотором интервале положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает) на этом интервале.
3. DEF: 3. DEF: Говорят, что функция y = f(x) имеет в точке х=х 0 строгий максимум (минимум), если f(x) f(x 0 )) для всех х, достаточно близких к х 0 ; х 0 – точка максимума (минимума). Максимум и минимум функции называется экстремумами функции, а точка х 0 – точка экстремума По определению максимума и минимума функции имеют локальный характер: зная функцию сравниваются только в точках, достаточно близких к точкам экстремума. Отдельные минимумы м.б. больше максимумов функции.
Необходимое и достаточное условия существования экстремума Th: Если функция y=f(x) имеет экстремум в некоторой точке, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует. Th: Пусть функция f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку х 0, и дифференцируемая во всех точках этого интервала, кроме б.м., самой точки х 0. Если при переходе аргумента слева направо через точку х 0 производная f `(x 0 ) меняет знак с плюса на минус, то функция в этой точке имеет максимум; если знак меняется с минуса на плюс, то функция имеет минимум.
4. Алгоритм исследования функции на экстремумы и промежутки монотонности 1.Находим производную f (x) 2.Находим точки, в которых f (x)=0 или f(x) не существует 3.Разбиваем этими точками область определения f(x) на промежутки 4.Методом проб определяем знак f (x) в этих промежутках и находим интервалы монотонности 5.Применяем достаточное условие экстремума.
1. Выпуклость вверх и вниз Говорят, что функция y = f(x) выпукла вверх в точке x 0, если существует окрестность точки x 0 такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции в точке M 0 (x 0 ; y 0 ) лежит выше графика. Говорят, что функция y = f(x) выпукла вниз в точке x 0, если существует окрестность точки х 0 такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции в точке M 0 (x 0 ; y 0 ) лежит ниже графика. II. Исследование функции на выпуклость, вогнутость
Если вторая производная f (x) существуют на интервале (а, b) и не меняет знак на этом интервале, то: 1) при f (x) > 0 (знак +) функция f(x) выпукла вниз на интервале (a, b); 2) при f (x) < 0 (знак -) функция f(x) выпукла вверх на интервале (a, b). 2. Достаточное условие выпуклости функции на интервале.
Определение: Определение: Точка М 0 (х 0 ; f(x 0 )) графика функции y = f(x) называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки x 0, в пределах которой график функции y = f(x) слева и справа от M 0 имеет разные направления выпуклости. 3.
4. Достаточный признак существования точки перегиба Точки, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует, называется критическими точками 2-го рода. В этих точках перегиб может быть, а может и не быть. Если для функции y=f(x) вторая производная ее f(x) в некоторой точке x 0 обращается в нуль и при переходе через точку меняет свой знак на обратный, то точка М(х 0 ; f(x 0 )) является точкой перегиба функции.
III. Асимптоты Определение 1: Определение 1: Если расстояние от точки М кривой y = f(x) до некоторой определенной прямой при x x 0 и неограниченном удалении точки М от начала координат стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.
Определение: Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Если в определении асимптоты x 0 – конечное число, то соответствующую асимптоту называют вертикальной. Определение: Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов или равен + или -.
График с вертикальной асимптотой
Если в определении асимптоты x 0 есть + или -, то соответствующая асимптота является либо горизонтальной, либо наклонной. Говорят, что прямая y = b служит горизонтальной асимптотой для графика функции y = f(x), если Если же равен числу b только один из этих пределов, то прямая y = b является горизонтальной асимптотой соответствующей части графика функции y = f (x), т.е. при x = + или при x = -.
График с горизонтальной асимптотой
Определение: Прямая Y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x + (соответственно при х - ), если f(x) представима в виде f(x) = kx + b + (x), где (соответственно ) Замечание: Если k = 0, то наклонная асимптота превращается в горизонтальную.
График с наклонной асимптотой
Пример: Вертикальная асимптота: х=-1 Наклонная асимптота на - : у=-х+2 Наклонная асимптота на + : у=х-2
Схема исследования функции. 1. Область определения D(y), область значения E(y) функции. 2. Четность, нечетность функции. 3. Периодичность. 4. Точки пересечения с осями координат. 5. Монотонность. Экстремумы функции. 6. Точки перегиба. Выпуклость функции. 7. Асимптоты. 8. График.