Задачи по планиметрии С4 (многовариантные задачи)

Дополнительный теоретический материал В треугольнике со сторонами a, b, c расстояние от вершины А до точек касания вписанной окружности сторон, содержащих эту вершину, равно Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований (средней линии). Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Трапеция вписана в некоторую окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной. Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам трапеции. При любом способе касания точка касания и центры окружностей лежат на одной прямой. При внешнем касании центры окружностей расположены на линии центров по разные стороны от точки касания, при внутреннем – по одну сторону. Расстояние между центрами касающихся окружностей радиусов R и r (Rr) равно R+r при внешем касании и R-r при внутреннем.

Пересекающиеся в точка А и В окружности имеют общую хорду АВ. Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам. Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника. Трапеция разбивается диагоналями на два равновеликих треугольника (примыкающих к боковым сторонам) и два подобных треугольника (примыкающих к основаниям). Если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Если р - полупериметр треугольника, r a - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны равной a, то S = (p-a)r a Расстояние между центрами вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей находится по формуле

Опорные задачи Отрезок общей внешней касательной к двум окружностям радиусов R и r равен Пусть в треугольнике АВС проведены высоты АК, и СМ, тогда треугольник ВКМ подобен данному с коэффициентом подобия, равным |cos B| Пусть О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС, тогда

В треугольнике ABC АВ =12, ВС = 5, СА = 10. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC = 4:9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF. В треугольнике со сторонами а, Ь, с расстояние от вершины А до точек касания вписанной окружности сторон, содержащих эту вершину, равно Решение Пусть AD = d, BD = x, DC = у. Тогда для окружности вписанной в треугольник ADC имеем

А для окружности вписанной в треугольник ADB Поскольку в условии сказано, что точка D лежит на прямой ВС, то существует два ее положения, при которых будет выполняться условие BD: DC = 4:9. Соответственно, существует два рисунка, удовлетворяющих условию задачи.

1.Пусть точка D лежит на отрезке ВС ( рис. а ). Тогда Значит, 2. Пусть точка D лежит вне отрезка ВС ( рис. б ). Тогда х = 4, у = х + ВС = = 9. Значит, Случай расположения точки D правее точки С невозможен. Замечание. Так как в решении не исследовано расположение точек Е и F на отрезке AD, то при вычислении длины отрезка EF использован знак модуля. Ответ :

Вариант пробного платного ЕГЭ На стороне CD квадрата ABCD построен равнобедренный прямоугольный треугольник CPD с гипотенузой CD. Найдите высоту треугольника АВР, проведенную из А, если сторона квадрата равна 4. Дано: AB=4, CP=PD, AK-высота. Найти: АК А ВС D Р

Решение Первый случай, когда точка Р лежит вне квадрата АВСD: 1. CD = 4, значит CP=PD= 2. Рассмотрим треугольник ВСР, в нем ВС=4, СР= По теореме косинусов находим АР= 3. Проведем высоту РН в равнобедренном треугольнике АВР, так как РН = 6, то из формулы площади треугольника найдем АК АК=

Второй случай когда точка Р лежит внутри квадрата: Точка Р совпадет с точкой пересечения диагоналей, поэтому высотой треугольника АВР будет катет АР= Ответ :

Диагностическая работа от Окружность S радиуса 12 вписана в прямоугольную трапецию с основаниями 28 и 21. Найдите радиус окружности, которая касается основания, большей боковой стороны и окружности S.

Решение Первый случай, когда окружность касается нижнего основания: 1. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки получаем, что СN=9, ND=16, KD= Треугольник OKD – прямоугольный, поэтому OD= Треугольники OKD и HMD подобны по двум углам, поэтому составим отношение Пусть MH = у, тогда DH = 8-у, находим у=3

Второй случай, когда окружность касается верхнего основания. 1. По теореме Пифагора найдем ОС = Также используя отношение сторон подобных треугольников получаем пропорцию То есть у = Ответ: 3 и

Диагностическая работа от Расстояние между параллельными прямыми равно 12. на одной из них лежит точка С, а на другой – точки А и В, причем треугольник АВС – остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Решение Первый случай, когда С – вершина равнобедренного треугольника. 1. По условию СН = 12, АС = 13, треугольник АВС- равнобедренный, поэтому АН = 5, значит, АВ= Из формул площади треугольника выразим радиус 3. То есть

Второй случай, когда АС= АВ=13, СН=12 1. По теореме Пифагора АН=5, значит НВ=8, 2. Подставив в формулу получаем Ответ:

Ященко и Со (30 вариантов-2011) В параллелограмме АВСD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками М и N так, что BM:MN=1:3. Найти ВС, если АВ=6.

Решение Первый случай, когда точки M и N лежат на отрезке ВС, считая от вершины В соответственно 1. По свойству биссектрисы параллелограмма получаем АВ=ВМ=NC=CD=6. 2. Так как BM:MN=1:3, то MN=18, значит ВС=30. Второй случай, когда биссектрисы пересекаются в параллелограмме 1. Тогда BN=CM=6, пусть ВМ=х, MN=3x 2. х+3х=6, то есть х=1,5, значит ВС=7,5. Ответ: 30 и 7,5.

Ященко и Со (30 вариантов ) Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине 15/17. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие – на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон вдвое больше другой.

Решение Первый случай, когда большая сторона прямоугольника лежит на основании. 1. По теореме косинусов находим АВ =. 2. По теореме Пифагора находим BD = Пусть KN=2x, KD=x, LK=x. 4. Рассмотрим треугольники ABD и LBP, они подобны по двум углам, поэтому находим х=16, значит, S=512.

Во втором случае на основании треугольника лежит меньшая сторона прямоугольника, тогда 1. Пусть KN=x, KD=0,5x, LK=2x. 2. Подставив в пропорцию получим 3. Получаем х=20, значит S=800. Ответ: 512 и 800.

Ященко и Со (30 вариантов – 2011) Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 18, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 5. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжения других его сторон.

Решение 1. Пусть ВС = a, АС = b, - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны AC, - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС. 2. Треугольники ВОК и ВСD подобны, значит, 3. Подставим известные величины и выразим а через b 4. Применив теорему Пифагора получаем АС=15, АВ=19,5

5. Применив свойство отрезка касательной к вневписанной окружности, получаем ВМ = 0,5 (19,52+15)=27 6. Из формулы площади треугольника находим радиусы вневписанных окружностей Ответ: 18 и 11,25

Литература 1. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С4) Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии Гордин Р.К. ЕГЭ Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия./под. ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко.- М.: МЦНМО, – 148с. 3. Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник. – М.: МЦНМО, Прасолов В.В.Задачи по планиметрии. – М.: МЦНМО, ЕГЭ Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под. ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко.- М.: Национальное образование, – (ФИПИ – школе)