Автор проекта Крошкина Екатерина Kroshkina Ekaterina Руководитель Щекина Светлана Юрьевна, проекта Учебное заведение: МОУ гимназия 14 Электронный тематический журнал изучаем тригонометрию

Цель проекта: изучение истории возникновения и развития тригонометрии как науки, систематизация тригонометрических формул, решение одного тригонометрического уравнения различными способами. Задачи проекта: изучить литературу по данному вопросу; изучить историю возникновения тригонометрических терминов; рассмотреть основные способы решения тригонометрических уравнений на примере решения одного тригонометрического уравнения.

Из истории тригонометрии Из истории тригонометрии Формулы тригонометрии Формулы тригонометрии Решение простейших тригонометрических уравнений Решение простейших тригонометрических уравнений Способы решения тригонометрических уравнений Способы решения тригонометрических уравнений

Формулы тригонометрии 2. Синус и косинус суммы и разности аргументовСинус и косинус суммы и разности аргументов 3. Тангенс суммы и разности аргументовТангенс суммы и разности аргументов 5. Формулы приведенияФормулы приведения 4. Формулы двойного угла. Формулы понижения степениФормулы двойного угла. Формулы понижения степени 6. Формулы преобразования суммы в произведениеФормулы преобразования суммы в произведение 7. Формулы преобразования произведения в суммуФормулы преобразования произведения в сумму 8. Универсальная подстановкаУниверсальная подстановка 1. Соотношения между функциями одного аргумента На главную страницу Правило для запоминания

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента Список формул

Синус и косинус суммы и разности аргументов Список формул

Тангенс суммы и разности аргументов Список формул

Формулы двойного угла. Список формул

для синуса и косинуса

Формулы приведения Список формул Правило для запоминания

Существует простое мнемоническое правило, позволяющее быстро воспроизвести любую формулу приведения. Достаточно задать себе два вопроса: 1)Меняется ли функция на кофункцию? 2)Какой знак имеет исходная функция в рассматриваемой четверти? 2) Посмотри знак Посмотри знак

Список формул Знаки тригонометрических функций в четвертях I четверть II четверть III четвертьIV четверть

Формулы преобразования суммы в произведение Список формул

Формулы преобразования произведения в сумму Список формул

Универсальная подстановка Список формул

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций. На главную страницу

Частные случаи Вернуться к видам уравнений

Частные случаи Вернуться к видам уравнений

Историческая справка О происхождении единиц измерения углов. О происхождении единиц измерения углов. Об истории тригонометрии На главную страницу

Градусное измерение углов возникло в Древнем Вавилоне задолго до новой эры. Жрецы считали, что свой дневной путь Солнце совершает за 180 «шагов», и, значит, один «шаг» равен 1/180 развернутого угла. В Вавилоне была принята шестидесятиричная система счисления, т.е. фактически числа записывались в виде суммы степеней числа 60, а не 10, как это принято в нашей десятеричной системе. Естественно потому, что для введения более мелких единиц измерения углов один «шаг» делился на 60 частей. Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно удобной, и ее сохранили математики Греции и Рима. Термины, которыми мы пользуемся для названия угловых величин, имеют латинские корни. Слово «градус» происходит от латинского gradus – шаг, ступень. В переводе с латинского minutus означает «уменьшенный». И, наконец, secunda переводится как «вторая». Имеется в виду следующее: деление градуса на 60 частей, т.е. минута – это первое деление; деление минуты на 60 секунд – второе деление градуса. О происхождении единиц измерения углов. На главную страницу

Нынешняя система счисления получила широкое распространение на рубеже XVI и XVII вв. Но еще К. Птолемей количество градусов обозначал кружком, число минут – штрихом, а секунд – двумя штрихами. Другая единица измерения углов – радиана – введена совсем недавно. Первое издание (а это были экзаменационные билеты), содержащие термин «радиан», появилось в 1873 г. в Англии. Сам термин «радиан» происходит от латинского radius – луч, спица. Если вспомнить определение угла в один радиан (центральный угол, длина дуги окружности которого равна радиусу окружности), то выбор корня «рад» для такого угла представляется совершенно естественным. Клавдий Птолемей На главную страницу

Слово «тригонометрия» впервые встречается в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса в 1505 году, что обозначало науку об измерении треугольников. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назад. Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. Современный синус угла α, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной α, или как хорда удвоенной дуги. Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения complementy sinus, т.е. «дополнительный синус». Об истории тригонометрии: Евклид На главную страницу

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс, секанс и косеканс) введены в X в. арабским математиком Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Название tanger (касаться), появилось в 1583 г. Об истории тригонометрии: На главную страницу

Современные обозначения arcsin и arctg появляются в 1772 г. В работах венского математика Шефера и известного французского ученого Ж. Л. Лагранжа. Приставка «арк» происходит от латинского arcus(лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом поняти: arcsin x, например, - это угол(а можно сказать и дуга), синус которого равен x. Об истории тригонометрии: Жозеф Луи Лагранж На главную страницу

Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик XVIII столетия Л. Эйлер ( ). Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать определения функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факторы стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного формальнее, проще. Леонард Эйлер На главную страницу

способ На главную страницу

1 способ. Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса Вернуться к способам решения

2-й способ. Разложение левой части уравнения на множители.

Вернуться к способам решения 3-й способ. Введение вспомогательного угла (числа).

Вернуться к способам решения 4-й способ. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. Получили уравнение, решение которого описано в предыдущем способе.

Вернуться к способам решения 5-й способ. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций. В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима (обязательна!) проверка.

Вернуться к способам решения 6-й способ. Возведение обеих частей уравнения в квадрат Обязательно нужна проверка корней

7-й способ. Применение универсальной подстановки Вернуться к способам решения

8-й способ. Графическое решение. y = cos x +1 y = sin x Вернуться к способам решения

Литература. 1.Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. Главный редактор М.Д. Аксенова.- М:Аванта+, с. 2.Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. Учебник 10 класса, Мнемозина,2010г. 3.Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для поступающих в вузы, 4-е издание. – М.: Вербум - М, – 416с. 4.Фарков А. В. Готовимся к олимпиадам по математике.М.: ЭКЗАМЕН, 2006г. 5.Математика: Школьная энциклопедия. Гл. ред. С. М. Никольский. – М.: Большая Российская энциклопедия; Дрофа, – 527 с На главную страницу