Аннотация

Обучение решению квадратных уравненийЗадачи: Рассмотреть основные принципы решения Обучить приведению квадратного уравнения Научиться находить корни квадратного уравнения

Функция y = ax 2 + bx + c, соответствующая этому уравнению, называется квадратичной, другое название – квадратный трехчлен. Коэффициенты уравнения: a – первый (или старший) коэффициент, b – второй коэффициент, c – третий коэффициент (другое название – свободный член уравнения). Обратите внимание на то, что слагаемые в уравнении расположены по убыванию степени переменной x

По традиции со времен Декарта для обозначения коэффициентов в алгебраических уравнениях используются первые буквы латинского алфавита – a, b, c, ¼, а для переменных – последние: ¼, x, y, z. Примеры квадратных уравнений Примеры квадратных уравнений: А вот примеры уравнений, не являющихся квадратными: Обратите внимание на то, что наличие в уравнении слагаемого вида ax 2 еще не означает, что уравнение является квадратным.

Отметим, что никакой мистики в условии a ¹ 0 нет. Просто при a = 0 получается более простое уравнение – линейное, а условие a ¹ 0 означает, что мы встретились с "настоящим" квадратным уравнением. Приведенное квадратное уравнение Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 (1) называется приведенным, если a = 1. Исторически традиционная запись x 2 + px + q = 0, т.е. буквы b и с заменяют на p и q. К такому виду можно привести любое квадратное уравнение, разделив его на старший коэффициент: ax 2 + bx + c = 0 Û Û Û Û, т.е., Для каждого квадратного уравнения соответствующее ему приведенное определяется единственным образом.

Смысл такого приведения – уменьшение числа коэффициентов, что в некоторых случаях облегчает работу с уравнением.. Определения Число x 0 называется корнем квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, (1) если при подстановке этого числа вместо переменной x получается верное равенство. Корни уравнения (1) называют также корнями квадратного трехчлена. Не всякое квадратное уравнение имеет корни. Примеры. Уравнение x 2 – 4 = 0 имеет два корня: x 1 = –2 и x 2 = 2. Уравнение x = 0 не имеет корней (точнее, не имеет действительных корней).

Техническая основа Замечательным свойством квадратных уравнений является то, что с помощью приема, который называется выделением полного квадрата (или дополнением до полного квадрата), можно получить формулу для нахождения корней любого такого уравнения. Сначала познакомимся с этим методом на конкретных примерах. Техническая основа нижеследующих преобразований – формула A 2 + 2AB = (A + B) 2 – B 2. (2) Квадрат двучлена в правой части этой формулы определяет название метода. Пример 1. Решить уравнение x 2 + 2x – 3 = 0. Первый шаг. Переносим в правую часть уравнения слагаемое, не содержащее x: x 2 + 2x = 3. Второй шаг. Преобразуем левую часть с помощью формулы (2): x 2 + 2x = x × x × 1 = (x + 1) 2 – 1 2. Третий шаг. Оставляем в левой части уравнения только квадрат двучлена: (x + 1) 2 = Итак, исходное уравнение равносильно следующему: (x + 1) 2 = 4, откуда x + 1 = –2 или x + 1 = 2. Ответ: x1 = –3, x2 = 1.

Пример 2. Решить уравнение 2x 2 – 3x + 1 = 0. Сначала разделим обе части уравнения на старший коэффициент, чтобы получить приведенный вид (как в предыдущем примере):. Затем последовательно выполняем разобранные в примере 1 операции: Итак, исходное уравнение равносильно следующему:, откуда. Ответ: ;. Решение в общем случае Теперь мы можем приступить к доказательству основной теоремы о корнях квадратного уравнения. Применим метод выделения полного квадрата для преобразования уравнения ax 2 + bx + c = 0. (1) Сначала делением обеих частей уравнения на a ¹ 0 приводим его к виду. Затем по шагам выполняем рассмотренные в примерах операции: Дискриминант Итак, исходное уравнение (1) равносильно следующему уравнению:. (3) Выражение D = b 2 – 4ac (4) называется дискриминантом квадратного уравнения (или дискриминантом квадратного трехчлена).

В левой части уравнения (3) – квадрат двучлена, а в знаменателе правой части стоит положительное число, поэтому существование корней этого уравнения, а, значит, и равносильного ему уравнения (1), определяется знаком дискриминанта D. Основная формула Следовательно, если D < 0, то уравнение (1) не имеет решений; если D ³ 0, то из уравнения (3) получаем, или. (5) Формула (5) называется формулой корней квадратного уравнения. Кратные корни При D = 0 из формулы (5) следует:. В этом случае говорят, что квадратное уравнение (1) имеет один корень кратности два. Также иногда говорят, что при D = 0 уравнение имеет два совпадающих корня. При D > 0 корни x 1 и x 2 различны

Итоги проделанной работы подведены в следующей теореме. Теорема о квадратном уравнении Теорема. Для того, чтобы квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 (1) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого уравнения был неотрицателен: D ³ 0. При D = 0 уравнение имеет один корень (кратности два):. При D > 0 уравнение имеет два различных корня:

Частные случаи Выделяют два частных варианта формулы корней квадратного уравнения. В случае приведенного уравнения x 2 + px + q = 0 мы имеем уравнение общего вида (1), в котором a = 1; b = p; c = q. По формуле (5) получаем:. (6) Если уравнение имеет вид ax 2 + 2b 1 x + c = 0, то по формуле (5) получаем. (7) Такая формула полезна, например, если b – большое четное число. О термине "дискриминант" Слово дискриминант происходит от латинского слова discriminantis (читается "дискриминантис"), что значит различающий, разделяющий. Для квадратного уравнения условие D > 0 означает, что корни различны (т.е. "разделены"), а условие D = 0 означает, что корни совпадают ("неразличимы"). Отметим, что условие D = 0 – неустойчивое, можно сказать "редкое", т.к. малейшее изменение любого из коэффициентов уравнения сразу его нарушает.

Аганесов Л.М. «Простейшие решения»; М., Просвещение, 2005 год Бородин Н.К. «Занимательная математика»; М., Наука, 2003 год