ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 1. Задачи, приводящие к понятию производной Составила учитель математики МОУ «Гимназия им. Горького А.М.»: Фабер Г.Н.

=x 0 +x Приращение функции и приращение аргумента y=f(x) x0x0 f(x)=f(x 0 +x) f(x 0 ) x f приращение аргумента: x y х = х - х 0 (1) Приращение функции : f = f(x 0 +x)-f(x 0 ) (2) f = f(x)-f(x 0 ) (3) x В окрестности точки х 0 возьмём точку х Пусть х 0 - фиксированная точка, f(х 0 )- значение функци в точке х 0 Расстояние между точками х и х 0 обозначим х.Оно называется приращением аргумента и равно разности между х и х 0 : Первоначальное значение аргумента получило приращение х, и новое значение х равно х 0 +х Функция f(х) тоже примет новое значение: f(x 0 +x) Т.е., значение функции изменилось на величину f(x)- f(x 0 ) = f(x 0 +x)-f(x 0 ), КОТОРАЯ НАЗЫВАЕТСЯ ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ И ОБОЗНАЧАЕТСЯf Дана функция f(x)

Задача 1 (о скорости движения). По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой s=s (t), где t время (в секундах), s (t) положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке М пройдя путь от начала движения ОМ = s{t). Дадим аргументу t приращение t и рассмотрим момент времени t+t Координата материальной точки стала другой, тело в этот момент будет находиться в точке P : OP=s(t+t) Значит, за t секунд тело переместилось из точки М в точку Р, т.е. прошло путь МР. Имеем: MP=OP-OM=s(t+t)-s(t)=s Полученную разность мы назвали в § 26 приращением функции Путь s тело прошло за t секунд. Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени [t;t+t] : = А что такое скорость v (t) в момент времени t (ее называют иногда мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени [t;t+t] при условии, что t выбирается все меньше и меньше; точнее: иными словами, при условии, что t0.Это значит, что Подводя итог решению задачи 1, получаем:

Задача 2 Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t). Если промежуток времени h очень мал, то приближённо s(t+h)-s(t)v(t)h, или, причём последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h. Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h. Сказанное записывают в виде

Прямая, проходящая через точку М 0 (х 0; f(х 0 )), с отрезком которой почти сливается график функции f(х),называют касательной к графику в точке х 0 x0x0 f(x 0 ) M0M0 X y Тема: Задача, приводимая к понятию производная 0

Задача: Определить положение касательной (tgφ) х у 0 М0М0 х0х0 f(x 0 ) М х f(x) =x 0 +x x f =f(x 0 +x) φ Секущая, поворачиваясь вокруг точки М0, приближается к положению касательной Предельным положением секущей МоМ, когда М неограниченно приближается к Мо, является касательная Пусть дан график функции f(х) и касательная, проходящая через точку М 0,которая образует с положительным направлением оси ОХ угол φ Отметим точку М, координаты которой рассмотрим как приращение координат точки М 0 Через точки М и М 0 проведём секущую, которая образует с осью ОХ угол Будем перемещать точку М вдоль графика, приближая её к точке М 0. Соответственно будет меняться положение секущей ММ 0 При этом координата х точки М будет стремиться к х 0 К чему будет стремиться приращение аргумента? А к какому углу будет стремиться угол ?

Задача о касательной к графику функции y = f(x) x y x0x0 М 0 (х 0,у 0 ) α А β В x М(х,у) С х=х-х 0 f(x) = f(x) - f(x 0 )

Задача о мгновенной величине тока Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Пусть Δt – некоторый промежуток времени, Δq = q(t+Δt) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + Δt. Тогда отношение называют средней силой тока. Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества Δq ко времени Δt, при условии, что Δt0.

Выводы Различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.: 1) Присвоить ей новый термин. 2) Ввести для неё обозначение. 3) Исследовать свойства новой модели. 4) Определить возможности применения нового понятия - производная

Задача о скорости химической реакции Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t 0 ;t 1 ] (масса соли, растворившейся в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле. Скорость растворения в данный момент времени

Определение производной Производной функции f в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при последнем стремящимся к нулю:

Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее: а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени; б) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (x 0 ; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х 0 ; в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени; Г) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

А л г о р и т м 1) 1) x = x – x 0 2) 2) f = f(x+x 0 ) – f(x 0 )3)4)

А это значит: Аппарат производной можно использовать при решении геометрических задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических задач оптимизационного характера. И, конечно, не обойтись без производной при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский

Основные формулы Средняя скорость = Мгновенная скорость или Скорость изменения функции Значение производной в точке =