a a II Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. a расстоянием между скрещивающимися прямыми. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. b a b

расстоянием между скрещивающимися прямыми. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых и перпендикулярный к этим прямым, называется их общим перпендикуляром. общий перпендикуляр На рисунке АВ – общий перпендикуляр. АВ

А Н П-Р М Повторение. Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. Н-я П-я a

А Н П-Р М Повторение. Обратная теорема. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. Н-я П-я a

П-я 1 А В Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что треугольники АМD и МСD прямоугольные. D С М П-Р Н-я 1 Н-я 2 П-я TTП AD AB П-я 1 AD AM Н-я 1 TTП DC BC П-я 2 DC CM Н-я 2

П-я 1 D А Через вершину А прямоугольника АВСD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что КD = 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см. Найдите: а) расстояние от точки К до плоскости прямоугольника АВСD; б) расстояние между прямыми АК и СD. С В K П-Р Н-я 1 Н-я 2 П-я TTП СD AD П-я 1 CD DK Н-я 1 TTП BC BA П-я 2 BC BK Н-я КА – искомое расстояние ? АD – общий перпендикуляр АD – искомое расстояние Найдем другие прямые углы…

В Через вершину B квадрата АВСD проведена прямая ВF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если ВF = 8 дм, АВ = 4 дм. D С ) Расстояние от точки F до прямой АВ? 2) Расстояние от точки F до прямой ВС? FП-Р 8 3) Расстояние от точки F до прямой АD? П-я 1 Н-я 1 TTП АD AB П-я 1 AD AF Н-я 1 Н-я 2 П-я 2 TTП DC BC П-я 2 DC FC Н-я 2 А 4) … от точки F до прямой DC?

В Через вершину B квадрата АВСD проведена прямая ВF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если ВF = 8 дм, АВ = 4 дм. D С FП-Р 8 П-я 1 Н-я 1 Н-я 2 П-я 2 Н-я 3 П-я3 О TTП AC BO П-я 3 AC FO Н-я 3 5) Расстояние от точки F до прямой АС? А

Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба АВСD, диагонали которого пересекаются в точке О. а) Докажите, что расстояние от точки К до всех прямых содержащих стороны ромба, равны. б) Найдите это расстояние, если ОК = 4,5 дм, АС = 6 дм, ВD = 8 дм. А К O D С 157. Р В F D A B C О Р F 4,58 6

В М А D 158. Р С F А В С D Р F Через вершину В ромба АВСD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см, ВАD = 60 0, ВМ = 12,5 см см 12,5 см

П-Р Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Н-я П-я Н А М

Найти угол между наклонными и плоскостью (описать алгоритм построения). А F R П-Р Н МH FF FМFМFH К М

П-я Прямая ВD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно, что ВD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите: а) расстояние от точки D до прямой АС; б) площадь треугольника АСD. А С В 154 (дом). DП-Р Н-я TTП AC BМ П-я AC MD Н-я МD – искомое расстояние М

А Н Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекцией на эту плоскость является точка пересечения этой прямой с плоскостью. В таком случае угол между прямой и плоскостью считается равным 90 0.

Если прямая параллельна плоскости, то ее проекцией на плоскость является прямая, параллельная данной. В этом случае понятие угла между прямой и плоскостью мы не вводим. (Иногда договариваются считать, что угол между параллельными прямой и плоскостью равен 0 0 ) a

A O Из точки А, удаленной от плоскости на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30 0 к плоскости. Их проекции на плоскость образуют угол в Найдите ВС. В С d