Вы активировали гиперссылку для рассмотрения математического моделирования игры в теннис

Теннис. Правила игры. ИГРА СЕТ (ПАРТИЯ) ГЕЙМ Заканчивается при минимально выигранных 6 геймах с разницей в 2 гейма. Т.е. при счёте 6:0, 6:1, 6:2…7:5, 8:6 и т.д. За исключением системы тай-брейка Если одна из сторон после выигрыша первого мяча второй мяч проиграла, то 15 засчитывается противнику и т.п. => счёт в гейме может быть одним из следующих: 15:0, 30:0, 40:0, 0:15, 0:30, 0:40, 15:15, 30:15, 40:15, 15:30, 15:40, 30:30, 40:30, 30:40

Начальные понятия теории вероятностей Мяч выигранМяч проигран m/n Р(А) (0Р(А)1). Свойство т.н. статистической устойчивости частоты. При этом Р(А) – вероятность события А m/n – частота события Теорема Бернулли События А и В не совместимы. Их сумма А+В – достоверное событие: его вероятность Р(А+В)=1, а Р(АВ)=0 Р(А)+Р(В)=1 (1)

Начальные понятия теории вероятностей Формула (1) – частный случай т.сложения вероятностей: если исходы А и В испытания О несовместны, то вероятность суммы А+В исходов А и В равна сумме вероятностей исходов: Теорема сложения вероятностей обобщается на тот случай, когда испытание приводит к любому конечному числу В 1,…В k попарно несовместных исходов (т.е. каждое произведение В i В j при ij) событие невозможное: Р(В 1 +В 2 +…В k )=Р(В 1 )+Р(В 2 )+…+Р(В k ) Условная вероятность Р(А/В – отношение числа тех исходов испытания J, приведших к А, которые приводят и к В, к числу всех исходов, приводящих к В) Событие А называется независимым от события В, если условная вероятность Р(А/В) равна безусловной вероятности Р(А), т.е.: Теорема умножения вероятностей: Пусть события В 1 …В k попарно несовместны и событие А имеет место, Когда возникает по крайней мере одно какое-либо из событий В 1 …В k. Тогда справедливо тождество: А=А(В 1 +…+В k )=АВ 1 +…АВ k. Формула полной вероятности: Р(А)=Р(АВ 1 )+Р(АВ 2 )+…+Р(АВ k ) или Р(А)=Р(В 1 )Р(А/В 1 )+Р(В 2 )Р(А/В 2 )+…+Р(В k )Р(A/В k )

Модель игры Схема 1

Начало гейма. 30:015:150:30 МОЯ подача. Я выиграла 1 мяч Вы - 2 0,4*0,4=0,16 0,6*0,6=0,36 Вы выиграли 1 мяч Я - 2 Н 1 – гипотеза, согласно которой Я выигрываю 1 мяч Р(Н 1 )=0,6 Н 2 – гипотеза, согласно кот. ВЫ выигрываете 2 мяч Р(Н 2 )=0,4 Событие Q Р(Q/Н 2 )=0,6 Р(Q/Н 1 )=0,4 Р(Q)=Р(Н 1 )Р(Q/Н 1 )+Р(Н 2 )Р(Q/Н 2 )=0,6*0,4+0,6*0,4=0,48 После розыгрыша 2 мячей Р(40:0)=0,6*0,6*0,60,22 Р(0:40)=0,4*0,4*0,4 0,06 Р(30:15)=Р(30:0)*0,4+Р(15:15)*0,60,43 Р(15:30)=Р(15:15)*0,4+Р(0:30)*0,60,29 …3 мячей Вывод: для того чтобы найти вероятность счёта, отмеченного в каком-либо прямоугольнике схемы 1, надо составить сумму произведений вероятностей, проставленных у стрелок, входящих в этот прямоугольник, на вероятности счёта, указанные в соответствующих прямоугольниках, из которых эти стрелки выходят

Завершение гейма Р(МОЯ игра) =0,13 Р(40:15)=0,35Р(30:30)=0,35Р(15:40)=0,15 Р(ВАША игра) =0,15 Р 1 =Р(МОЯ игра) =0,6 4 (1+4*0,4) =0,33 Р 2 =Р(«больше») =4* 0,6 3* 0,4 2 =0,15 Р 3 =Р(«ровно»)= 6* 0,6 2* 0,4 2 =0,33 Р 4 =Р(«меньше») =4* 0,6 2* 0,4 3 =0,1 Р 5 =Р(ВАША Игра»)= 0,4 4 * (1+4*0,6)=0,09 …4 мячей После розыгрыша 5 мячей

В таблице на пересечении i-й строки и j-го столбца указана вероятность перехода из сотояния i в состояние j. Например, единица на пересечении первой строки и второго столбца означает, что состояние «МОЯ игра» - поглощающее, т.е. гейм уже разыгран и счёт меняться в нем не будет. На пересечении третьей строки и второго столбца стоит 0,6, т.е. с вероятностью 0,6 счет из «ровно» станет больше и т.п. Матрица Т – матрица переходов марковской цепи. Вероятности состояний после розыгрыша пяти мячей примем в качестве компонент вектора р 0 =(р 1, р 2, р 3, р 4, р 5 ) и назовем его вектором начального распределения вероятностей соответствующих состояний. В данной игре числовые значения р i (i=1,…,5) уже подсчитаны

Завершение сета Мы видим, что вероятность выигрыша мной сета близка к единице. Этого и следовало ожидать, ведь Я выигрываю первый мяч с вероятностью в 1,5 раза большей, чем ВЫ. Согласно подсчетам, Я выиграю матч из трех сетов с вероятностью 0,996; матч из пяти сетов – с вероятностью 0,9996, т.е. почти наверняка. В связи с чем играть более трех сетов нецелесообразно.

Пусть теперь класс игроков практически одинаков (вероятность выигрыша мяча МНОЙ – 0,51, ВАМИ – 0,49, т.е. Из 100 разыгранных мячей Я выигрываю в среднем на 2 мяча больше, чем ВЫ. В этом случае Р выигрыша сета МНОЙ составит 0,753; ВАМИ – 0,427. Т.об. Вероятность выигрыша сета возрастет в 7 раз! Вероятность выигрыша каждой стороной по одному сету, т.е. вероятность счёта 1:1 составляет 0,488

Заключение Мы построили математическую модель игры в теннис в пределах гейма и сета. По аналогии можно «достроить» модель полностью до трех (пяти) сетов. Так же математика находит своё применение в других видах спорта. Например, с помощью математики можно сформулировать оптимальный состав команды пловцов, разработать тактику ведения игры в хоккейных, футбольных, волейбольных и др. матчах. Для перехода к заключительному слайду нажмите: