Необходимые формулы и теоремы Площадь треугольника можно вычислить по формулам Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле Объем пирамиды V=1/3S осн H Медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1 начиная от вершины Площадь квадрата или ромба S=1/2d 1 d 2. Площадь ромба, параллелограмма S=ah Радиус окружности описанной около треугольника можно вычислить по формуле Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, расположен в середине гипотенузы

В правильной четырехугольной пирамиде известны длина стороны основания 2 и длина высоты 2. Найдите: а) объем пирамиды;объем пирамиды; б) площадь боковой по­верхности;площадь боковой по­верхности; в) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;угол наклона бокового ребра к плоскости основания; г) угол наклона боковой грани к плоскости основания;угол наклона боковой грани к плоскости основания; д) радиус вписанного шара;радиус вписанного шара; е) радиус описанного шара;радиус описанного шара; ж) расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания;расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания;

з) расстояние от вершины пирамиды до ребра основания;расстояние от вершины пирамиды до ребра основания; и) расстояние от ребра основания до противоположной грани;расстояние от ребра основания до противоположной грани; к) расстояние между боковым ребром и скрещивающейся с ним диагональю ос­ нования;расстояние между боковым ребром и скрещивающейся с ним диагональю ос­ нования; л) объем вписанного конуса;объем вписанного конуса; м) площадь боковой поверхности описанного конуса.

В О К 2 В 2 а) объем пирамиды;объем пирамиды; площадь боковой по­верхности;

А С D 2 В К О ? в) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;угол наклона бокового ребра к плоскости основания;

А С D 2 В Т К О ? г) угол наклона боковой грани к плоскости основания;угол наклона боковой грани к плоскости основания;

А С D 2 В К ТО ОТ К О1О1 Р д) радиус вписанного шара;радиус вписанного шара;

А С D 2 В К О О2О2 О К С е) радиус описанного шара;радиус описанного шара;

А С D 2 В К О F ж) расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания;расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания;

А С D 2 В K O T Е Е К Т О Н з) расстояние от вершины пирамиды до ребра основания;расстояние от вершины пирамиды до ребра основания; и) расстояние от ребра основания до противоположной грани;расстояние от ребра основания до противоположной грани;

А С D 2 В К О F к) расстояние между боковым ребромрасстояние между боковым ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания;

А С D 2 В Векторно-координатный методz x y K O S N

А С D 2 В K O л) объем вписанного конуса;объем вписанного конуса; м) площадь боковой поверхности описанного конуса.

А В С D О М N 1 Дано: DABC- правильная пирамида АВ=3, AD=2 3 Найти:V 3 2 3

А С В D О Дано: DABC- пирамида, треугольник АВС прямоугольный, АВ-гипотенуза АС=6, ВС=8.Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45 о Найти: V

A B D F O 2 Дано: FABCD- правильная пирамида FCO=45º, FO=2 Найти: V C 2

А С В D О 10 М 5 Дано: DABC- пирамида, треугольник АВС равнобедренный АС=АВ=10, ВС=12. AD=BD=CD=5 Найти:V

A C D F O 6 Дано: FABCD- пирамида, ABCD- ромб, А=30 о.h ромба =6. Каждый из двугранных углов при основании равен 45 о Найти:V B М К

А С В D О 10 М 7 Дано: DABC- пирамида треугольник АВС равнобедренный АС=АВ=10, ВС=12. Каждый из двугранных углов при основании равен 45 о Найти:V 12 10

A D C B O K T E 2 2

A BC D E K F O M 3 Дано:FABCDEK-правильная пирамида, FO (ABC),FМ AK, FO=4, FM=5 Найти:V 4

Объем прямоугольного параллелепипеда Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна а и составляет угол в с плоскостью боковой грани и угол с плоскостью основания. С А D В a ? ? ? ?

Объем прямой призмы В правильной треугольной призме через сторону ВС основания и середину бокового ребра проведено сечение, составляющее угол в с плоскостью основания. Найдите объем призмы, если сторона ее основания равна 10 см. С В А М D 10

Объем призмы и цилиндра Дана правильная шестиугольная призма, О – центр ее основания, Найдите: объем призмы; объем описанного около призмы цилиндра; объем вписанного в призму цилиндра

Задача Дано: АМ – наклонная к плоскости γ, МО γ, АЕ – луч на плоскости γ, образующий острый угол β с проекцией наклонной; угол МАО = α, угол ВАО = β, угол МАВ = φ. Докажите: cos φ = cos α cos β β α Е В О А М φ γ

Задача Дано: луч АМ образует равные острые углы с лучами AF и АЕ. Докажите: проекцией луча АМ на плоскость EAF является биссектриса АО угла EAF. C B O F Е М А

Объем наклонной призмы Все грани параллелепипеда – равные ромбы со стороной а и острым углом Найдите объем параллелепипеда. С А D В К α а

Если боковые ребра пирамиды равны (или составляют равные углы с плоскостью основания), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды. \\ // O M D СВ А \\

Если двугранные углы при основании пирамиды равны (или равны высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды. \\ // O M D СВ А \\ F Е К

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетовПИФАГОРА: В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.косинус угла В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы.угла 30° Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетовкатетов Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой сторонестороне Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними

B А С О 13 5 Н L=13, R=5 Найти: Н. Дано:

ВBВBВBВB С А О

120° В А С О 6 Дано:

C А К В 12 О 10 Дано:АВС- РАВНОСТОРОННИЙ, L=12, R=10 Найти: ОК, Н.

В С А О К Дано:Н=12,

А В С Дано: L=10, =30° Найти: R О

А В С О Дано: R=3, треугольник АВС прямоугольный Найти: площадь треугольника АВС

А В С О Дано:H=6 3,треугольник АВС равносторонний Найти:R

C А К В О Дано:H=15,R=20, АОС=60° Найти: площадь треугольника АВС.

Определение: Многогранник называется вписанным в сферу (вписанным в шар), если все вершины многогранника принадлежат этой сфере. Про сферу в этом случае говорят, что сфера описана около многогранника.

Вспомним, что множество точек, равноудалённых от концов отрезка в плоскости, есть серединный перпендикуляр, проведённый к этому отрезку. А ВС АВ=ВС m

Множество точек, равноудалённых от двух данных точек, есть плоскость, перпендикулярная к отрезку с концами в данных точках, проходящих через его середину (плоскость серединных перпендикуляров). А В С АВ=ВС

Множество точек, равноудалённых от «n» данных точек («n» больше 2), лежащих на одной окружности, есть прямая, перпендикулярная плоскости этих точек, проходящая через центр описанной около них окружности. А В С D E O m

Значит, около любой треугольной пирамиды можно описать сферу. АВ С M H O

Если около основания пирамиды можно описать окружность, то около этой пирамиды можно описать сферу. Следствие: Около любой правильной пирамиды можно описать сферу. АВ С D M O H

Центр сферы, описанной около пирамиды, высота которой проектируется в центр описанной окружности вокруг основания, лежит на середине диаметра, проведённого через центр этой окружности, перпендикулярно ей. А В С D Е 2R H r 2R-H

Центр сферы, описанной около пирамиды лежит в точке пересечения прямой перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр описанной около основания окружности и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведённой через середину этого ребра.

1. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

2. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на. 3. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 6. Найдите объем параллелепипеда

4. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды. 10 d

5. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. ОАВ СК ОАВ СК

6. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?80 а 4а х

7. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 87.

8. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые) =2

9. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины. 4 3 х

10. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ. 1 2 х

11. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 8,5 см. Найдите его объем.

12. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 8. Боковые ребра равны. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. 8 8

Геометрические задачи «С2» по материалам ЕГЭ – 2010

Задачи Нахождение угла между плоскостью основания правильной пирамиды и прямой, соединяющей вершину основания с точкой пересечения медиан боковой грани. Нахождение тангенса угла между плоскостями ACD 1 и A 1 B 1 C 1, в прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Нахождение угла между плоскостью основания правильной пирамиды и прямой, соединяющей середины бокового ребра и ребра основания.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 12 3, SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М точка пересечения медиан грани SBC. S O А В С M K N 13 N А М

S OА В С M KN В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 12 3, SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М точка пересечения медиан грани SBC.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями ACD 1 и A 1 B 1 C 1. Ответ:. O А А1А1 B B1B1 C C1C1 D D1D

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 8 3, SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой проходящей через середины ребер АS и BC. K 17 O N S А В С M

Решение. K 17 O N S А В С M В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 8 3, SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой проходящей через середины ребер АS и BC. 15 7,5 4 4