«Все есть число», говорили мудрецы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в жизни людей. Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называют цифрами.

Система счисления это совокупность приемов и правил для обозначения и именования чисел.

Люди научились считать очень давно, еще в каменном веке. Сначала они просто различали, один предмет перед ними или больше. Через некоторое время появилось слово для обозначения двух предметов. У некоторых племен Австралии и Полинезии до самого последнего времени было только два числительных: «один» и «два». А все числа, большие двух, получали названия в виде сочетаний этих двух числительных. Например, три это «два, один», четыре «два, два», пять «два, два, один».

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков: –зарубок, –черточек, – точек.

Чтобы два человека могли точно сохранить некоторую числовую информацию, они брали деревянную бирку, делали на ней нужное число зарубок, а потом раскалывали бирку пополам.

Каждый уносил свою половинку и хранил ее. Этот прием позволял избегать «подделки документов». Ведь при возникновении спорной ситуации половинки можно было сложить и сравнить совпадение и число зарубок.

Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу.

Где сейчас встречаются отголоски унарной системы? чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, сколько полосок нашито на его рукаве. Того не осознавая, этим кодом пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики и именно она до сих пор вводит школьников в мир счета.

Неудобства Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными

Обозначение чисел и счет в Древнем Египте Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и так далее использовались специальные значки иероглифы. Вот они:

Все остальные числа составлялись из этих ключевых символов при помощи операции сложения. Например, чтобы изобразить 3 252, рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы):

Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемешку. Система счисления назывется непозиционной, если в ней количественные значения символов, используемых Для записи чисел, не зависят от их положения (места, позиции) в коде числа. Система счисления Древнего Египта является непозиционной. Особую роль у египтян играло число 2 и его степени. Умножение и деление они проводили путем последовательного удвоения и сложения чисел. Выглядели такие расчеты довольно громоздко.

Например, чтобы умножить 15 на 24, составляли следующую таблицу:

Записи делались до тех пор, пока не оказывалось, что из чисел левого столбца можно составить множитель 15: = 15. После этого складывались соответствующие числа правого столбца: = 360.

При делении египтяне многократно удваивали в правом столбце делитель и, соответственно, в левом столбце число 1, пока числа правого столбца оставались не большими делимого. Далее из чисел правого столбца пытались составить делимое, и если это удавалось, то сумма соответствующих чисел в левом столбце давала искомое частное. Если делимое не делилось нацело на делитель, то получали частное и остаток. Например, чтобы разделить 541 на 12, надо было составить таблицу:

541 = ; = 45. Таким образом, при делении 541 на 12 получаем частное 45 и остаток 1.

Римская система счисления Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежат знаки –I (один палец) для числа 1, –V (раскрытая ладонь) для числа 5, –X (две сложенные ладони) для 10, а также специальные знаки для обозначения чисел 50, 100, 500 и 1000.

Ученые предполагают, что первоначально знак для числа 100 имел вид пучка из трех черточек наподобие русской буквы Ж, а для числа 50 вид верхней половинки этой буквы, которая в дальнейшем трансформировалась в знак L:

Для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов –Centum сто, –Demimille половина тысячи, –Мillе тысяча

Чтобы записать число, римляне использовали не только сложение, но и вычитание ключевых чисел. При этом применялось следующее правило. –Значение каждого меньшего знака, поставленного слева от большего, вычитается из значения большего знака Например, запись IX обозначает число 9, а запись XI число 11. Десятичное число 28 представляется следующим образом: XXVIII =

Десятичное число 99 имеет такое представление: XCIX =

недостаток: запись римскими цифрами лишает число единственности представления. Действительно, в соответствии с приведенным выше правилом, число 1995 можно записать следующими способами: –MCMXCV = ( ) + ( ) + 5, –MDCCCCLXXXXV = , –MVM = ( ), –MDVD = ( ) и так далее.

В наши дни любую из римских цифр предлагается записывать в одном числе не более трех раз подряд. На основании этого построена таблица, которой удобно пользоваться для обозначения чисел римскими цифрами:

Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах. Практическая работа

Алфавитные системы счисления Наряду с иероглифическими в древности широко применялись алфавитные системы счисления, в которых числа изображались буквами алфавита. Так, в Древней Греции числа 1, 2,..., 9 обозначали первыми девятью буквами греческого алфавита; Для обозначения десятков применялись следующие девять букв; Для обозначения сотен использовались последние девять букв; Ниже приведен греческий алфавит с числовыми значениями входящих в него букв.

Пропуск некоторых записей означает, что в древности алфавит содержал еще несколько букв.

Славянский цифровой алфавит Алфавитной нумерацией пользовались также южные и восточные славянские народы. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы славянского алфавита, а только те из них, которые имелись и в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок ~ («титло»).

В России славянская нумерация сохранялась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.

Тысячи обозначались теми же буквами с «титлами», что и первые девять цифр, но слева внизу у них ставился специальный знак, например:

Десятки тысяч назывались «тьмами», их обозначали, обводя знаки единиц кружками. Например, числа , , записывались так:

Сотни тысяч назывались «легионами», их обозначали, обводя знаки единиц кружками из точек. Например, числа и обозначались так:

Миллионы назывались «леордами», их обозначали, обводя знаки единиц кружками из лучей или запятых. Например, и записывались так:

Десятки миллионов назывались «воронами» или «вранами», их обозначали, обводя знаки единиц кружками из крестиков или ставя по обе стороны знака единиц букву К. Например, числа и обозначались так:

Сотни миллионов назывались «колодами». Для их обозначения над и под буквой, обозначающей единицы, ставились квадратные скобки. Например, числа и записывались в виде:

Интересно числа от 11 до 19 записывались так, как и говорились: сначала число единиц, потом число десятков. Например, 11 и 14 выглядели так:

Остальные числа записывались буквами слева направо. Например, числа 244 и 1993 изображались так:

Мы рассмотрели так называемый «малый счет». В одной из славянских рукописей рассматривается и «великий счет», доходивший до числа Далее говорилось: «И более сего несть человеческому уму разумевати».

Ясачные грамоты В старину на Руси среди простого народа широко применялись системы счисления, отдаленно напоминающие римскую. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати ясака (ясачные грамоты) и делали записи в податной тетради.

Текст закона об этих так называемых ясачных знаках: «Чтобы на каждой квитанции, выдаваемой Родовитому Старосте, от которого внесен будет ясак, кроме изложения словами, было показано особыми знаками число внесенных рублей и копеек так, чтобы сдающие простым счетом сего числа могли быть уверены в справедливости показания.

Употребляемые в квитанции знаки означают:

Например, 1232 рубля 24 копейки изображались так

Позиционные системы счисления Рассмотренные нами иероглифические и алфавитные системы счисления имели один существенный недостаток в них было очень трудно выполнять арифметические операции. Этого неудобства нет у позиционных систем. Система счисления называется позиционной, если количественные значения символов, используемых для записи чисел, зависят от их положения (места, позиции) в коде числа.

Французский математик Пьер Симон Лаплас ( ) такими словами оценил «открытие» позиционной системы счисления: «Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им значение по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из- за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна.»

Основные достоинства любой позиционной системы счисления простота выполнения арифметических операций ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.

Вавилонская система счисления Идея приписывать цифрам разные величины в зависимости от того, какую позицию они занимают в записи числа, впервые появилась в Древнем Вавилоне примерно в III тысячелетии до нашей эры.

Для записи чисел вавилоняне использовали всего два знака: клин вертикальный (единицы) и клин горизонтальный (десятки). Все числа от 1 до 59 записывались с помощью этих знаков, как в обычной иероглифической системе.

Все число в целом записывалось в позиционной системе счисления с основанием 60. Примеры:

Десятичная система счисления Обычная система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, с которой мы знакомы с детства, в которой производим все наши вычисления, пример позиционной системы счисления. В привычной нам системе счисления для записи чисел используются десять различных знаков (цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9). Поэтому ее называют десятичной. Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в 10 раз больше правой.

Потребовалось много тысячелетий, чтобы люди научились называть и записывать числа так, как это делаем мы с вами. Начало этому было положено в Древнем Египте и Вавилоне. Дело в основном завершили индийские математики в V-VII веках нашей эры.

Важным достижением индийской науки было введение особого обозначения для пропуска разрядов нуля. Арабы, познакомившись с этой нумерацией первыми, по достоинству ее оценили, усвоили и перенесли в Европу. Получив название арабской, эта система в XII веке нашей эры распространилась по всей Европе и, будучи проще и удобнее остальных систем счисления, быстро их вытеснила.

. Сегодня десятичными цифрами выражаются – время, –номера домов и телефонов, –цены, бюджет, – на них базируется метрическая система мер. Время многократно изменяло облик десятичных цифр, пока они не приобрели привычный для нас вид.

Такое изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число, соответствующее количеству углов в ней. Подсчитайте и убедитесь в этом сами! Некогда написание цифр было таким :

Изучаемые в самом раннем возрасте, правила работы с числами в результате повседневной практики усваиваются так прочно, что мы оперируем ими уже подсознательно. По этой причине сегодня многие люди даже не догадываются о существовании других систем счисления.

Другие позиционные системы счисления Широкое распространение до первой трети XX века имели элементы двенадцатеричной системы счисления. Число двенадцать (дюжина) даже составляло конкуренцию десятке в борьбе за почетный пост основания общеупотребительной системы счисления. Дело в том, что число 12 имеет больше делителей (2, 3, 4, 6), чем 10 (2 и 5). Поэтому в двенадцатеричной системе счисления более удобно производить расчеты, чем в десятичной.

И только возможность счета по пальцам рук склонила чашу весов на сторону числа 10.

Тем не менее дюжина достаточно прочно вошла в нашу жизнь: – в сутках две дюжины часов, –час делится на пять дюжин минут, –круг содержит тридцать дюжин градусов, – фут делится на двенадцать дюймов. Влияние двенадцатеричной системы счисления ощущается сегодня хотя бы в том, что –карандашей или фломастеров в наборе обычно бывает 6,12 или 24; –чайные и столовые сервизы бывают на 6 или на 12 персон; – комплект носовых платков 12 штук.

А вот шведский король Карл XII в 1717 году увлекался восьмеричной системой считал ее более удобной, чем десятичная, и намеревался королевским указом ввести ее как общегосударственную. Только неожиданная смерть короля помешала осуществлению столь необычного намерения.