Методы решения квадратных уравнений

Определение Квадратные уравнения (КВУР) – уравнения вида ax ²+bx+c =0, где x – переменная, a, b и c – любые числа, причем a0. (В случае, когда а = 0, КВУР переходит в класс линейных уравнений, т.к. исключается переменная во второй степени)

Виды КВУР Полные ax ²+bx+c=0 Неполные 1) c=0 ax ²+bx=0 2) b=0 ax²+c=0 3) b=c=0 ax²=0 Приведенные x²+px+q=0

Методы решения. Неполные КВУР. I. ax²+bx=0 1) Вынести общий множитель за скобки и разложить на множители: x·(ax+b)=0 x=0 или ax+b=0

Методы решения. Неполные КВУР. 1) 2x ² +3x=0 x(2x+3)=0 x=0 или 2x+3=0 2x=-3 x=-1,5 Ответ: -1,5; 0 2) 5u ² -4u=0 u(5u-4)=0 u=0, u=0, u=0, 5u-4=0; 5u=4; u=0,8. Ответ: 0; 0,8. Примеры:

Методы решения. Неполные КВУР. II. ax²+c=0 ax²=-c x²= ˂ 0 =0 ˃ 0 2корня нет решений x²=0 x= x=0

Методы решения. Неполные КВУР. Примеры: 1)x²+19=0 x²= ˂ 0 нет корней Ответ: нет корней. Примеры: 2) x ²-19=0 x²=19 19 ˂ 0 2 корня x= x= Ответ:.

Методы решения. Неполные КВУР. III. ax²=0 x²=0 смотри здесь.смотри здесь x=0

Методы решения. Выделение полного квадрата. 1)b=четное x ²-4x+3=0 x ²-2·x· =0 (x-2)²-1=0 (x-2)²=1 x-2=± x-2= x=3 или x=1 Ответ:1, 3. 1)b=нечетное 2x ²+x+2=0 | :2 x²+ x+1=0 x²+2·x· =0 (x+0,25)²+ =0 (x+0,25)²= - ˂ 0 = ˃ нет корней Ответ: нет корней.

Методы решения. Полные КВУР ax ² +bx+c=0 Формула полного квадрата: 1)x ² +8x+16=0 (x+4) ²=0 x+4=0 x=-4 Ответ: x=-4. 2) a ² -2,6a+1,69=0 (a-1,3) ²=0 a-1,3=0 a=1,3 Ответ: a=1,3.

Методы решения. Полные КВУР. Частные случаи. Теорема 1: Если a+b+c=0, то x =1, x = Примеры: 1)5x ² -8x+3= =0 Теорема1 x =1; x =. Ответ: x =1; x =. 2) 3x²-7x+4=0; 3-7+4=0 Теорема1 x =1; x =. Ответ: 1;.

Методы решения. Полные КВУР. Частные случаи. Теорема 2: Если a-b+c=0, то x =-1, x =-. Примеры: 1) 5x²+9x+4= =0 Теорема2 x =-1; x =-. Ответ: x =-1; x =-. 2) y²-22y-23= = 0 Теорема2 x =-1; x =- x =23. Ответ:-1; 23.

Методы решения. Приведенные КВУР. Теорема ВИЕТА: x²+px+q=0 (a=1) x 1 +x 2 =-p x *x =q Примеры: 1)x ² -6x+8=0 x =2; x =4 x +x =6 x +x =8 Ответ: 2, 4. 2)y ² -10y-24=0 y =-4; y =6 y +y =10 y *y =24 Ответ: y =-4; y =6.

Методы решения. «Переброска» 1) 2x²-5x-3=0 x²-5x-3*2=0 x²-5x-6=0 (решим по Теореме 2) Теореме 2 Корни запишем в виде: x = x = =3 Ответ: x =-0,5; x =3. 2) 3x ² +2x-5=0 x ² +2x-15=0 Решим по Теореме ВИЕТА.Теореме ВИЕТА. x = Ответ: ;

Решение КВУР по формуле: Виды решения Формула корней: Если второй коэффициент(b)-четный, то дискриминант : Формула корней: Если второй коэффициент(b)- нечетный, то дискриминант: Формула 1 Формула 2

Решим примеры 1) a=4;b=1;c=-33 Т.к. b-нечетное, то решаем это уравнение по формуле 1: Корни: Ответ:-3; = = =

2) a=3;b=-13;c=14 Т.к. b-нечетное, то решаем по формуле 1: Корни:

a=12;b=16;c=-3 Т.к. b-четное, то решаем по формуле 2: 3) Корни:

4) a=5;b=26;c=-24 Т.к. b-четное, то решаем по формуле 2: Корни:

Авторы: Ученики 8 класса ФМЛ 38 г.Ульяновска Криворотова Полина Шагаев Анатолий Руководитель: Учитель математики Алейникова Т.В.