Пространственная теорема Пифагора

Все плоские углы тетраэдра ОABC при вершине О прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора).

Три формулировки теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов; Квадрат длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов длин двух его взаимно перпендикулярных сторон; Квадрат длины любого отрезка равен сумме квадратов длин его проекций на любые две взаимно перпендикулярные прямые.

СA B BC 2 =AB 2 +AC 2 (1. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов

2. Квадрат длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов длин двух его взаимно перпендикулярных сторон OO1O1 OO2O2 A1A1 A C B1B1 OC 2 =OA 2 +OB 2 OA=O 1 A 1 OB=O 2 B 1 B

3. Квадрат длины любого отрезка равен сумме квадратов длин его проекций на любые три взаимно перпендикулярные прямые Доказательство: 1) Отрезки A 1 B 1 и AC – это проекции отрезка АВ на две взаимно перпенди- кулярные прямые к плоскости Y. По теореме Пифагора (3 формул.) AB 2 =A 1 B 1 2 +AC 2 ; b c a p q B1B1 B1B1 B2B2 B A1A1 A1A1 A2A2 A C Y

2) Спроектируем отрезок A 1 B 1 на прямую а в отрезок А 1 В 1 и на прямую b в отрезок А 2 В 2. По теореме Пифагора A 1 B 1 2 =A 1 B 1 2 +A 2 B 2 2 ; 3) По теореме о проекциях отрезки А 1 В 1 и А 2 В 2 – это проекции отрезка АВ на прямые a и b. А 3 В 3 АС. А 3 В 3 =АС; 4) Заменяя длины АС и А 1 В 1 длинами проекций А 1 В 1, А 2 В 2, А 3 В 3, получаем равенство: AB 2 =A 1 B 1 2 +A 2 B 2 2 +A 3 B 3 2 c p q B1B1 B1B1 B2B2 B A1A1 A2A2 A C b A1A1 а B3B3 A3A3

Всегда хочется быть выше перед страхом казаться неумелым… Будь уверен в себе все получится!!! Автор: Марко Анна