«Прогресс науки определяется трудами ее ученых и ценностью ее открытий» Л.Пастер

Теория чисел раздел математики, занимающийся изучением чисел как таковых так и их свойств и поведения в различных ситуациях. Как сказал великий математик Пифагор "Все есть число! Как сказал великий математик Пифагор "Все есть число! Изучая числа мы изучаем окружающий нас мир и себя в том числе. С древних времен математики пытались постичь тайны удивительного мира чисел. Этот мир привлекает своим многообразием, строгостью и совершенством законов. Изучая числа мы изучаем окружающий нас мир и себя в том числе. С древних времен математики пытались постичь тайны удивительного мира чисел. Этот мир привлекает своим многообразием, строгостью и совершенством законов. Здесь есть «великаны» и есть «карлики», обычные «трудяги» и такие «знаменитости», как π и e. «Прогресс науки определяется трудами ее ученых и ценностью их открытий» Л.Пастер

Но еще более многообразен мир числовых последовательностей. Здесь и последовательность натуральных чисел и полная глубоких тайн последовательность простых чисел и последовательностьбиноминальных коэффициентов… В моей работе речь пойдет об одной замечательной последовательности чисел, которую открыл выдающийся швейцарский математик Якоб Бернулли ( ).Последовательность эта играет в математике важную роль, что объясняется ее связью с вопросами суммирования функций, простыми числами, великой теоремой Ферма, а также другими задачами.

Чтобы найти обобщенную формулу для вычисления этих сумм Якоб Бернулли (27 декабря августа 1705) профессор математики Базельского университета (с 1687). Из семьи Бернулли. Отец Бернулли занимал в городе заметное положение, был членом городского суда и членом Большого городского совета. Отец прочил Якоба в священнослужители, и ему пришлось изучать в университете философию, богословие и языки. Отец не допускал отступления от намеченного плана, поэтому Якоб вынужден был заниматься математикой тайком, без учителя и почти без учебников. Обучение в университете шло своим чередом, и в 1671г. он получил степень магистра философии. В 1676 Якоб отправился в длительное путешествие, из которого возвратился только в 1680г. Он посетил некоторые города Швейцарии, Италию, Францию.

По возвращении в Базель Якоб опубликовал в 1681 и 1682 две работы: одна содержала рассуждения о природе комет, другая - о тяжести эфира. Наиболее значительные достижения Якоба I в развитии анализа бесконечно малых, теории рядов, вариационного исчисления и теории вероятностей. В 1687, ознакомившись с первым мемуарам Г.Лейбница по дифференциальному исчислению (1684), применил новые идеи к изучению свойств ряда кривых: логарифмические спирали, открытой им лемнискаты, цепной линии и др. В труде "Искусство предложения" Якоб I в 1713 решил некоторые задачи комбинаторики; открыл числа, позднее названные числа Бернулли; доказал так называемую теорему Бернулли - частный случай закона больших чисел, имеющего большое значение в теории вероятностей и ее приложениях к статистике; построил математическую модель для описания серии независимых испытаний (схема Бернулли). Благодаря его работам теория вероятностей приобрела важнейшее значение в практической деятельности.

БЕРНУЛЛИ - династия швейцарских ученых родом из Антверпена, бежавших из города после захвата его испанцами и поселившихся в 1622 году в Базеле. По крайней мере восемь ее представителей оставили заметный след в истории точных наук. Среди академиков Петербургской Академии наук пятеро представителей семьи Бернулли. Примечательно не то, что это семейство сделало ряд значимых открытий в разных областях науки, а то, что они, за исключением только некоторых членов семьи, были как-либо связаны с наукой, в частности с математикой

Якоб ( ) Николай ( ) Якоб I ( ) Николай Николай( ) Николай I ( ) Жером( ) Иоганн I ( ) Николай II ( )Даниил I ( ) Иоганн II ( ) Якоб II ( )Иоганн III ( ) Даниил II( ) Кристоф( ) Иоганн-Густав( ) Многие их открытия даже сейчас кажутся нам нереальными, недоказуемыми, но и как все гениальное – простыми.

Натуральные числа возникли в глубокой древности как результат счета различных предметов: людей, животных, птиц, деревьев, орудий труда и т.д. Ряд натуральных чисел: Натуральные числа возникли в глубокой древности как результат счета различных предметов: людей, животных, птиц, деревьев, орудий труда и т.д. Ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, … 1, 2, 3, 4, 5, … является бесконечным и называется натуральным рядом. является бесконечным и называется натуральным рядом. При изучении свойств чисел Я. Бернулли встретился с суммированием степеней натуральных чисел При изучении свойств чисел Я. Бернулли встретился с суммированием степеней натуральных чисел Эти вопросы интересовали математиков и ранее. Я. Бернулли составил таблицу фигурных чисел, указал их свойства и на основании отмеченных свойств нашел формулы для сумм степеней натуральных чисел. Он привел формулы для сумм от S(n) до S(n10): Эти вопросы интересовали математиков и ранее. Я. Бернулли составил таблицу фигурных чисел, указал их свойства и на основании отмеченных свойств нашел формулы для сумм степеней натуральных чисел. Он привел формулы для сумм от S(n) до S(n10):от S(n) до S(n10):от S(n) до S(n10):

S 1 (n)= …n 1 S 2 (n)= …n 2 S 3 (n)= …n S k (n)=1 k +2 k +3 k +…n k S 10 (1000)= …

Найдем обобщенную формулу для вычисления этих сумм. 1) Обозначим эти суммы следующим символом: S. 2) Возведем числа (от первого числа до числа n) этих сумм в степень. 3) С помощью разложения: Которое мы получили при последовательном возведении двучлена (бинома) a+b первую, вторую, третью, … степени a+b=1·a+1·b (a+b) 2 =1·a 2 +2·ab+1·b 2 (a+b) 3 =1·a 3 +3·a 2 b+3·ab 2 +1·b 3 (a+b) 4 =1·a 4 +4·a 3 b+6·a 2 b 2 +4·ab 3 +1·b 4 напишем тождество:

4) предположим, что а=1 тогда, Аналогично подставляем следующие числа до числа n. 5) Складываем результаты слева и справа и получаем: 6) Вместо S k (n) подставим числа Отсюда вытекает рекуррентное соотношение:

Из которого легко получить сумму S k (n), если известно S 1 (n), S 2 (n),…S k-1 (n) Например, проверим, что Находя и так далее…

Числа Бернулли последовательность рациональных чисел B 0,B 1,B 2,... найденная Я. Бернулли в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел. Из формулы S 1 (n), S 2 (n), S 3 (n) следует что, В 0 =1, B 1 =, B 2 =, B 3 =0 Из определения и рекуррентного соотношения вытекает простой способ вычисления чисел Бернулли. Из следующей формулы мы можем вычислить B k

C помощью этой формулы можно проверить значения первых четырех чисел Бернулли. Я проверю значение B 4 Для расчета B 4 нам также понадобились следующие значения

Бернулли удалось доказать, что и другие коэффициенты многочлена S k (n) вычисляются с помощью чисел В k. Коэффициент при n 2 оказывается равным, коэффициент при n 3 равен,наконец, коэффициент при степени n k оказывается не зависящим от k и всегда равным Таким образом, формула Бернулли имеет вид

Вычислим с помощью этой формулы S 5 (n) следующим образом S 5 (n)= …+n 5 За счет этой формулы мы с легкостью можем высчитать сумму степеней любого числа, например;

Изучая этот материал я выяснила, что числа Бернулли не зря используются в математических анализах и в теории чисел. Они помогают очень быстро вычислить сумму степеней любого числа а также разложить некоторые элементарные функций в степенные ряды.