Треугольник геометрия 7 класс Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества, а потому не ищет от него лекарства. Роджер Бэкон, 1267г. Работа учителя математики МОУ лицея 3 Г.Кропоткина Краснодарского края Белич Е.В.

П лан Понятие треугольника. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Классификация треугольников. Первый признак равенства треугольников. Второй признак равенства треугольников. Третий признак равенства треугольников. Тест.

Понятие треугольника А,В,С- вершины треугольника АВ,ВС,АС- стороны треугольника АВ+ВС+АС=Р, где Р – периметр треугольника А С В

А А1А1 В1В1 В С С1С1 Два треугольника называются равными если их можно совместить наложением. Рис 1.

Каждый из треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т.е попарно совместятся их вершины и стороны. Таким образом, если два треугольника равны, то элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Медиана Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. АМ-медиана треугольника АВС.

Любой треугольник имеет три медианы. АМ 1, АМ 2, АМ 3 – медианы треугольника АВС.

Биссектриса Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой угла треугольника. АА 1 - биссектриса А треугольника АВС.

Любой треугольник имеет три биссектрисы. CC 1, DD 1 и EE 1 - биссектрисы треугольника CDE.

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, называется высотой треугольника. АН-высота треугольника АВС Высота

Любой треугольник имеет три высоты. На рисунках отрезки AH 1, BH 2, CH 3 – высоты треугольника ABC.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника обладают замечательными свойствами: в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке

Классификация треугольников По углам тупоугольный остроугольный прямоугольный разностороннийравнобедренныйравносторонний По сторонам

Разносторонний Треугольник называется разносторонним, если он имеет разные стороны и углы. A B C AB=BC=CA

Равнобедренный Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием равнобедренного треугольника. Основание

Теорема В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC и докажем, что B= C. Пусть AD – биссектриса треугольника ABC. Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (AB=AC по условию, AD – общая сторона, 1= 2, так как AD – биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому B= C. Теорема доказана.

Равносторонний равносторонним или правильным Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним или правильным AB=BC=CA A B C

Первый признак равенства треугольников ТЕОРЕМА Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: Δ АВС,Δ А 1 В 1 С 1 АВ = А 1 В 1, АС = А 1 С 1, А = А 1.. Доказать: Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1. А В С А1А1 В1В1 С1С1

Доказательство Так как A= A 1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A 1 B 1 C 1 так, что вершина A совместится с вершиной A 1, а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи A 1 B 1 и A 1 C 1. Поскольку AB=A 1 B 1, AC=A 1 C 1,то сторона AB совместится со стороной A 1 B 1, а сторона AC - со стороной A 1 C 1 ; в частности, совместятся точки B и B 1,C и C 1. Следовательно, совместятся стороны BC и B 1 C 1. Итак, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана. В С А1А1 А В1В1 С1С1

Второй признак равенства треугольников ТЕОРЕМА Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны

Второй признак равенства треугольников Дано: Δ АВС,Δ А 1 В 1 С 1 ВА = В 1 А 1, В = В 1.. А = А 1.. Доказать: Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 А1А1 В А В1В1 С С1С1

Доказательство Наложим треугольник ABC на A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A 1, сторона AB – c равной ей стороной A 1 B 1, а вершины C и C 1 оказались по одну сторону от прямой A 1 B 1. Так как A= A 1 и B= B 1, то сторона AC наложится на луч A 1 C 1, а сторона BC – на луч B 1 C 1. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – окажется лежащей как на луче A 1 C 1, так и на луче B 1 C 1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной C 1. Значит, совместятся стороны AC и A 1 C 1, BC и B 1 C 1. Итак, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана. В А В1В1 С1С1 С А1А1

Третий признак равенства треугольников ТЕОРЕМА Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников Дано: Δ АВС,Δ А 1 В 1 С 1 АС = А 1 С 1 АВ = А 1 В 1 ВС = В 1 С 1 Доказать: Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 А В С А1 А1 В1 В1 С1С1

Доказательство Приложим треугольник ABC к треугольнику A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A 1, вершина B – с вершиной B 1, а вершины C и C 1 оказались по разные стороны от прямой A 1 B 1. Возможны три случая: луч C 1 C проходит внутри угла A 1 C 1 B 1. Луч C 1 C совпадает с одной из сторон этого угла. Луч C 1 C проходит вне угла A 1 C 1 B 1. Рассмотрим первый случай. Так как по условию теоремы стороны AC и A 1 C 1, BC и B 1 C 1 равны, то треугольники A 1 C 1 C и B 1 C 1 C – равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника AС C 1 = A 1 C 1 С, угол BС 1 С= B 1 СС 1, поэтому A 1 C 1 B 1 = ACB. Итак, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, C= C 1. Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Тест. 1.Для доказательства равенства треугольников АВС и DEF(рис1) достаточно знать, что: а) АВ=DF; б)АС=DE; в)АВ=DE. 2.Для доказательства равенства треугольников АВС и EDF(рис 2) достаточно доказать, что: а) А= Dб) В= D в) А= Е. 3.Из равенства треугольников АВС и FDE(рис 3)следует, что: а)АВ=FDб)АС=DF в)АВ=EF. 4.Из равенства треугольников АВС и DEF(рис 4) следует, что: а) В= Dб) А= Е в) С= F.

5.В треугольнике АВС все стороны равны, и в треугольнике DEF все стороны равны. Чтобы доказать равенство треугольников АВС и DEF достаточно доказать, что : а) В= D;б)АВ=DE; в) Р АВС =Р DEF. 6. «Медиана в равнобедренном треугольнике является биссектрисой и высотой».Это утверждение : а)верно всегда;б)всегда неверно;в)может быть верно. 7.В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника? а)в любом;б)в равнобедренном;в)в равностороннем. 8.Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник: а)равнобедренный;б)равносторонний;в)прямоугольный. 9.Если треугольник равносторонний, то: а)он равнобедренный;б)все его углы равны; в) любая его биссектриса является медианой и высотой.

Ответы к тесту. 1. В 2. В 3. А 4. В 5. Б 6. В 7. Б 8. А 9.А,Б,В