Подходы к определению понятия объёма. Проблемы, связанные с выводом формул для вычисления объёмов. Возможности их разрешения

Аксиоматическое определение Конструктивное определение Объём – это то, что обладает следующими свойствами: 1. Всякому телу соответствует положительное число, называемое его объёмом (свойство положительности). 2. Если тело разбито на непересекающиеся части, то объём тела равен сумме объёмов этих частей (свойство аддитивности). 3. Если тела равны, то равны и их объёмы (свойство инвариантности). 4. Куб с ребром единица имеет объём, равный единице в кубе (свойство нормированности). Рассмотрим 1 кубильяж - куб, разбитый на единичные кубики. Пусть тело F содержит фигуру, составленную из P 1 кубов этого кубильяжа, и, в свою очередь, само тело F содержится в фигуре, составленной из Q 1 кубов этого кубильяжа. Тогда верно неравенство: P 1

Впервые формулу объёма пирамиды вывел известный древнегреческий учёный из города Сиракуз - Архимед. Он разработал следующий метод: высота пирамиды разбивается на n равных частей; через точки деления проводятся плоскости, параллельные основанию пирамиды; пирамида разбивается на n слоёв; для каждого такого слоя (кроме верхнего) строятся две призмы, одна из которых содержится в слое, а другая содержит слой: Данный чертёж получил название «Чёртовой лестницы».

Методика введения понятия объёма тела, вывода формул объёма прямой призмы и цилиндра

1. Что является единицей измерения площадей? 2. Какие единицы измерения площадей вы знаете? 3. Каким числом выражается площадь каждого многоугольника (плоского тела)? 4. Что показывает это число? 5. Какие свойства площадей вам известны? 6. Какие два многоугольника (плоских тела) называются равными?

1. Введение единиц измерения площадей. 2. Выяснение то, что такое площадь фигуры (в чём состоит процедура измерения площади фигуры). 3. Свойства площадей. 4. Площадь квадрата. 5. Формулы площадей других фигур. 6. Площадь круга.

1. Введение единиц измерения объёмов. 2. Выяснение то, что такое объём тела (в чём состоит процедура измерения объёма тела). 3. Свойства объёмов. 4. Объём куба. 5. Формулы объёмов других тел. 6. Объём цилиндра.

1. Что является единицей измерения объёмов? 2. Какие единицы измерения объёмов вы знаете? 3. Каким числом выражается объём каждого многогранника (пространственного тела)? 4. Что показывает это число? 5. Какие свойства объёмов вам известны? 6. Какие два многогранника (пространственных тела) называются равными?

Получение общей формулы для вычисления объёмов тел с помощью определенного интеграла. Объём наклонной призмы, пирамиды, конуса

1. Выбрать определённым образом систему координат (ось Ох перпендикулярна к основанию). 2. Рассмотреть сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку с абсциссой х. 3. Выразить площадь сечения S(x) через площадь основания, высоту и х. Убедиться, что полученная формула задаёт непрерывную функцию.

Ключевые задачи темы «Объёмы тел»

662. Основанием прямой призмы является параллелограмм. Через сторону основания, равную а, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол с плоскостью основания. Площадь сечения равна Q. Найдите объём призмы.

1. Задача-теорема ( 682): Докажите, что объём наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковым рёбрам и пересекающей их. 2. Задачи на нахождение объёма наклонной призмы, у которой задано основание (можно найти его площадь) и заданное боковое ребро образует определённый угол с основанием ( 676). 3. Задачи на нахождение объёма наклонной призмы, у которой одна из вершин верхнего основания проектируется в определённую точку нижнего основания, т.е. на виды наклонных призм ( ).

4. Задачи на нахождение объёма пирамиды, у которой плоские углы при одной из вершин прямые ( 695(в)): Найдите объём треугольной пирамиды SABC, если боковые рёбра попарно перпендикулярны и имеют длины a, b и c. 5. Задачи на нахождение объёма правильной пирамиды ( ). 6. Задачи на нахождение объёма неправильной пирамиды, у которой вершина проектируется в определённую точку основания, т.е. на виды неправильных пирамид ( ). 7. Задачи на метод объёмов: требуется найти расстояние от вершины тетраэдра до плоскости противоположной грани или между плоскостями противоположных граней параллелепипеда.

Метод объёмов Основанием пирамиды MAВC является ABC, в котором AB = BC = a и ABC равен. Боковая грань MBC перпендикулярна к основанию, а две другие боковые грани наклонны к нему под углом. Найдите: а) площадь грани AMB; б) объём пирамиды; в) расстояние от вершины C до плоскости грани AMB. Задача 1:

Решение: 1)Т. к. (MBC) (ABC), то М проектируется в точку Н прямой ВС (МН (ABC)). 2)Т. к. МВАС = МСАВ, то боковое ребро МА проектируется на АН - биссектрису ВАС. 3)Дополнительное построение: НК АВ, тогда по теореме о трёх перпендикулярах МК АВ, т. е. МКН – линейный угол МВАС, МКН =.

Задача 2: В С DA В1В1 C1C1 D1D1 A1A1 O K a α Основанием наклонной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 является ромб с острым углом А, равным α, и стороной а. Известно, что вершина А 1 призмы удалена на расстояние a от точек A, B и D. Найдите: а) S BB 1 D 1 D; б) V ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ; c) d(AA 1 D,BB 1 C), d(DD 1 C,AA 1 B). Метод объёмов

Решение: 1)Т. к. вершина A 1 равноудалена от вершин A, B и D, тогда A 1 проектируется в центр описанной около треугольника ABD окружности - точку О (A 1 О (ABC)). 2)Треугольник ABD - равнобедренный (ABСD- ромб), то O лежит на AK, где AK – медиана, биссектриса, высота треугольника ABD (К- точка пересечения диагоналей ромба ABСD). 3)AC BD (свойство диагоналей ромба), тогда имеем: A 1 О (ABC), AA 1 – наклонная к (ABC), AO – проекция наклонной AA 1 на плоскость (ABC), AOBD, значит по теореме о трёх перпендикулярах AA 1 BD.

9)Рассмотрим прямоугольный треугольник A 1 АО ( А 1 ОА=90˚), по теореме Пифагора: = 10)

11) Рассмотрим правильный треугольник АA 1 D (AA 1 = A 1 D = AD = a), Ответ: 12) =

691: Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ = ВС = 13 см, АС = 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с её высотой угол в 30˚. Вычислите объём пирамиды.