ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные от искомой функции или её дифференциалы. или

Примеры ДУ:

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком ДУ. Решением ДУ называется такая функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.

Пример 1. Показать, что данная функция является решением ДУ

Решение: Т.о. функции вида являются решениями данного ДУ при любом выборе постоянных С 1 и С 2 : Подставим:

Дифференциальные уравнения I порядка

Общим решением ДУ I порядка называется функция, которая зависит от одного произвольного постоянного С. или (неявный вид) ДУ I порядка имеет вид

Частным решением ДУ I порядка называется любая функция полученная из общего решения при конкретном значении постоянной С=С 0. или(неявный вид)

Пример 2.ДУ: -общее решение частные решения

Геометрически: Общее решение ДУесть семейство интегральных кривых на плоскости Оху; Частное решение ДУ -одна кривая этого семейства, проходящая через точку -общее решение х у -частное решение (х 0, у 0 )

Задача отыскания конкретного частного решения данного ДУ по начальным данным называется задачей Коши (Cauchy). или Условие, что при х=х 0 функция у должна быть равна заданному числу у 0 называется начальным условием.

Пример 3. Решить задачу Коши: -общее решение Решение: Подставим в общее решение начальные условия: -частное решение х у

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении функция f(x,y) и её частная производная непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (х 0 ;у 0 ), то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

1. ДУ I порядка с разделёнными переменными. Если каждая часть ДУ представляет собой произведение некоторого выражения, зависящего от одной переменной, на дифференциал этой переменной, то говорят, что переменные в этом уравнении разделены. В этом случае уравнение достаточно проинтегрировать:

Пример 4. Решить ДУ: Решение: С общее решение: или Геометрически: получили семейство концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С. С х у 0

Пример 5. Решить ДУ: Решение: С общее решение: или х у 0 С=1 С=3 С=-2

2. ДУ I порядка с разделяющимися переменными. Уравнения, в которых переменные разделяются, называются ДУ с разделяющимися переменными. где некоторые функции.

интегрируем:

Замечание: При проведении почленного деления ДУ на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения- особые решения.

Пример 6. Найти общее и частное решение ДУ: Решение: 1) Найдём общее решение ДУ:

Итак, общее решение ДУ: 2) Найдём частное решение ДУ, если Подставим эти начальные условия в общее решение ДУ и найдем С: - частное решение ДУ. Ответ: общее решение частное решение

Геометрически: х у общее решение частное решение у = 2х (5;10)

Пример 7. Найти общее решение ДУ: Решение:

или Ответ. Общее решение:

Нахождение особого решения: Здесь уравнение имеет вид ху=0 Его решения х=0, у=0 являются решениями данного ДУ, но не получаются из общего решения ни при каких значениях произвольной постоянной. Значит, решения х = 0, у = 0 являются особыми.

Пример 8. Найти общее решение ДУ: Решение:

или

Геометрически: общее решение С=5 С=3 С=1 С=-2 С=-5 х у

Пример 9. Решить задачу Коши: Решение: 1) Найдём общее решение ДУ:

или Итак, общее решение ДУ: С

2) Найдём частное решение ДУ, если Подставим эти начальные условия в общее решение и найдем С: частное решение ДУ: или

Геометрически: общее решение частное решение (0;1) С=5 С=-3 С=-6 С=0 х у

Пример 10. Решить задачу Коши: Решение: 1) Найдём общее решение ДУ:

Итак, общее решение ДУ:

2) Найдём частное решение ДУ, если Подставим эти начальные условия в общее решение и найдем С: Тогда, частное решение ДУ:

Геометрически: общее решение частное решение С=1 С=-5 С=9 С=-1 х у (0;4)