Урок 13 Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная к плоскости.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна любой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. a a = A и x | A x a x Определение. Отрезок, один из концов которого лежит в плоскости, и а) перпендикулярный этой плоскости, называется перпендикуляром к ней; б) не перпендикулярный этой плоскости, называется наклонной к плоскости

Если из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонные, то: 1) перпендикуляр короче любой наклонной; 2) наклонные равны тогда и только тогда, когда равны их проекции; 3) наклонная больше тогда и только тогда, когда ее проекция больше

Дана плоскость и точка А Сколько прямых, перпендикулярных, можно провести через А? Через данную точку можно провести не более одной прямой, перпендикулярной данной плоскости Почему не рассмотрен случай, когда А ?

Определение. Если А, то расстоянием от А до называется длина перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость Почему корректно это определение? Найдите геометрическое место точек плоскости, удаленных от точки А на заданное расстояние, большее, чем расстояние от А до. Докажите

Рис. 3 Теорема. Точка, не лежащая в плоскости многоугольника, равноудалена от его вершин тогда и только тогда, когда она проектируется в центр окружности, описанной около многоугольника. Дано: А 1 А 2...A n – многоугольник; (РО) (А 1 А 2 A 3 ); O (А 1 А 2 A 3 ). Доказать: |OA 1 | = |OA 2 | =... = |OA n | |PA 1 | = |PA 2 | =... = |PA n |.

. 4) |OB| = 8 см; |OC| = 12 см; |AO| = 9 см] Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 23 см и 33 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости и длины проекций наклонных на плоскость, если эти длины относятся, как 3 : 2. [Дано: (АО) ; {O; B; C} ; |AB| = 23 см; |AC| = 33 см; |OB| : |OC| = 2 : 3. Найти: |AO|; |OB|; |OC|. Решение. 1) (АО), {O; B; C} (АО) (OB) и (АО) (OC). 2) Так как |AB| < |AC|, то |OB| < |OC|. 3) Пусть |OB| = 2x (см); |OC| = 3x (см). Так как |AO| 2 = |AB| 2 – |OB| 2 = |AC| 2 – |OC| 2, то 33 2 – 9x 2 = 23 2 – 4x 2 x = 4 Можно ли по этим данным найти |BC|?

;. Дан тетраэдр РАВС, в котором (PA) (ABC); |AB| = |AC|; |BC| = a; |PA| = m; BPC =. Найдите BAC и условия, при которых задача имеет решение Так как |AB| = |AC|, то |PB| = |PC|, поэтому, если K – середина [BC], то (AK) (BC) и (PK) (BC). Пусть BAC =, тогда |AK| = ; |PK| = Так как |AK| 2 = |PK| 2 – |PA| 2, то, где а > 2m tg0,5 ;

Точка М, не лежащая в плоскости трапеции ABCD, равноудалена от вершин В, С и D и проектируется в вершину А. Известно, что ADC = 50. Найдите остальные углы трапеции. а) BAD = 130 ; BCD = 115 ; ABC = 65 ; б) BCD = 130 ; BAD = 100 ; ABC = 80