Теорема о трех перпендикулярах Открытый урок по математике 1 курс

Цель урока: Облегчить учащимся понимание содержания теоремы. Пробудить в них интерес к исследовательской работе. Вызвать их на размышления

Математический диктант Задание: Перечислите и запишите в тетради названия элементов (отрезков) чертежа, если АВ Задание: Перечислите и запишите в тетради названия элементов (отрезков) чертежа, если АВ В С А

Ответ: АВ – перпендикуляр ВС – наклонная АС – проекция наклонной

Дополнительные вопросы: Какой формулой связанны между собой перечисленные отрезки? Какой формулой связанны между собой перечисленные отрезки? Чему равно ВС, если АВ = 3 см, АС = 4 см.? Чему равно ВС, если АВ = 3 см, АС = 4 см.?

Постановка проблемы Через конец А отрезка АВ длины b, проведена плоскость, перпендикулярная отрезку. И в этой же плоскости проведена прямая с. Найти расстояние от точки В до прямой, если расстояние от точки А до прямой с равно а. Через конец А отрезка АВ длины b, проведена плоскость, перпендикулярная отрезку. И в этой же плоскости проведена прямая с. Найти расстояние от точки В до прямой, если расстояние от точки А до прямой с равно а.

Дан отрезок АВ = в, он перпендикулярен плоскости: А В b

В плоскости проводится прямая, назовем ее СD : В А D С По условию задачи известно расстояние от точки А до прямой СD, оно равно а.

Расстояние от точки до прямой, есть перпендикуляр, проведенный из этой точки на прямую! А D C

Теперь нужно выяснить, сколько перпендикуляров на чертеже и чему равно АА 1 ? В А D С b а A1A1

Куда пойдет перпендикуляр из точки В ? Где будет находиться его основание на прямой CD ? В А D С А1А1

Первое доказательство

А В А1А1 с С Дано: ;,АС – наклонная, ВС – проекция. ВС, АВ. Доказать: АС Доказательство. 1.Проведем СА1 2.СА1||АВ по теореме.(Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны). 3.Проведем через АВ и СА1 плоскость β. 4.с СА, с ВС (по Теореме: «Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости».),с β, значит с АС. Ч.Т.Д.

Второе доказательство

B с D С Дано: ;АС – наклонная, ВС – проекция. ВС, АВ. Доказать: АС. Доказательство. 1) СD ·CA = CD ·(CB+BA)=CD ·CB+CD ·BA 2) По условию CD CB. Значит,CD ·CB=0; CD BA, значит СD ·BA=0. Таким образом получаем: CD·CA=0,CD CA, c AC. Ч.Т.Д. A

Третье доказательство

A B D C E c Дано: ; АС-наклонная, ВС-проекция. ВС, АВ. Доказать: АС. Доказательство. 1) Достроим рисунок так, что => Значит, (как наклонные, имеющие равные проекции). 3) - равнобедренный и, - медиана и высота. Ч. т. д.

Продолжим решение предложенной в начале урока задачи

В D А A1A1 b a c Дано:, Найти: Расстояние от точки В до прямой CD Решение. 1) Расстояние от точки до прямой является 2)По теореме «О трех перпендикулярах». - проекция наклонной ВА 1. Ответ: Расстояние от точки В до прямой CD равно перпендикуляр Из,По теореме Пифагора:

Практическое применение теоремы о трех перпендикулярах

Задача: В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены под углом под углом α. Изобразить этот угол (см. рисунок). В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены под углом под углом α. Изобразить этот угол (см. рисунок). A O B K C D

Установить взаимное положение прямых а и в по готовым чертежам 1. ABCD – квадрат BE ABCD A b a C B D E

Установить взаимное положение прямых а и в по готовым чертежам 2. ABCD – квадрат BE ABCD A b a C B D E

Установить взаимное положение прямых а и в по готовым чертежам 3. ABCD – POMB AE ABCD A D E C b B a O

Установить взаимное положение прямых а и в по готовым чертежам 4. ABCD – POMB BE ABCD A D E C b B a O

Самостоятельная работа А) АВ- перпендикуляр к плоскости, АС- наклонная, ВС- ее проекция на плоскость, СД- прямая на плоскости, перпендикулярная прямой ВС. Почему угол АСД-прямой? А) АВ- перпендикуляр к плоскости, АС- наклонная, ВС- ее проекция на плоскость, СД- прямая на плоскости, перпендикулярная прямой ВС. Почему угол АСД-прямой? В) Угол С треугольника АВС- прямой. АД- перпендикуляр к плоскости Δ АВС. Докажите, что Δ ВСД- прямоугольный. В) Угол С треугольника АВС- прямой. АД- перпендикуляр к плоскости Δ АВС. Докажите, что Δ ВСД- прямоугольный. С) Из вершины А прямоугольного Δ АВС ( угол В - прямой) к плоскости Δ АВС проведен перпендикуляр АК. Докажите, что прямые КВ и ВС взаимно перпендикулярны. С) Из вершины А прямоугольного Δ АВС ( угол В - прямой) к плоскости Δ АВС проведен перпендикуляр АК. Докажите, что прямые КВ и ВС взаимно перпендикулярны.

Домашнее задание Выучить наизусть любое из предложенных доказательств. Выучить наизусть любое из предложенных доказательств. Решить две задачи из учебника. Решить две задачи из учебника.

Подведение итогов урока.