Автор Колобова Надежда ученица 8 класса Чернцкой МСОШ Руководитель Никитина Г. И. учитель математики

Рассмотрение свойств биссектрис параллелограмма Задачи : 1. Сформулировать и доказать свойства биссектрис углов параллелограмма 2. Составить задачи на применение свойств биссектрис параллелограмма 3. Решение задач по данной теме на экзамене по геометрии в 9 классе и ЕГЭ 4. Составление тестовой работы по теме

Доказательство : Т. к. АМ – биссектриса угла А, то

Доказательство : Рассмотрим АО D: < 1 = < 2 = ½ < А, < 3 = < 4 = ½ < D ( по свойству биссектрис ) < А + < D = 180˚ ( сумма соседних углов ). < 2 + < 3 = ½ < А + ½ < D = ½ (< А + < D) = ½ * 180˚ = 90˚ Значит, < АО D - прямой. Дано : АВС D – параллелограмм АК и D Е – биссектрисы Доказать : < АО D - прямой А В С D О Е К

Доказательство : Рассмотрим АВО. Он равнобедренный ( по свойству биссектрисы параллелограмма ): АВ = ВО. Рассмотрим С D О. Он равнобедренный ( по свойству биссектрисы параллелограмма ): CD = CO. Т. к. С D = АВ ( противоположные стороны параллелограмма ), то ВО = СО. Т. к. АВ = ВО, а ВО = СО, значит АВ = ½ ВС, т. е. ВС в 2 раза больше АВ. Дано : АВС D – параллелограмм АО и D О – биссектрисы О є ВС Доказать : ВС в 2 раза больше АВ. А В О D С

Биссектрисы параллелограмма пересекутся внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины соседней стороны ( рис. 1) Биссектрисы соседних углов в параллелограмме пересекутся вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины соседней стороны ( рис. 2) А ВС D О А В С D О Рис. 1 Рис. 2

a b MKMK a b a>ba>b / 2, a

Мы узнали, что биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. Циркулем измеряем сторону АВ и откладываем это расстояние из точки В на прямой ВС, делаем засечку, обозначаем точку буквой К. Таким образом АВ = ВК. Проводим биссектрису < А – АК. А В К С D

Доказательство : Рассмотрим прямые АК и СМ : < 2 = < 6 ( соответственные ) АК // СМ Так как АМ // КС ( по свойству противоположных сторон параллелограмма ), а АК // СМ, то АКСМ – параллелограмм. Из этого следует, что АК = СМ ( по свойству противоположных сторон параллелограмма ). Дано : АВС D – параллелограмм АК и СМ – биссектрисы АВ = ВК = С D = D М Доказать : АК = СМ ; АК // СМ А В К С D М

По теореме « биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом » АК и D О, пересекаясь, образуют прямой угол ; АК и В F, пересекаясь, образуют прямой угол ; В F и CF, пересекаясь, образуют прямой угол ; О D и СЕ, пересекаясь, образуют прямой угол. Значит, образовался четырёхугольник, у которого, все углы прямые. Значит, это прямоугольник. Дано : АВС D – параллелограмм АК, В F, CE, D О – биссектрисы Доказать : Образовался прямоугольник А В ОКС DFE

ЗАДАЧА 1 ЗАДАЧА 2 Дано : АВС D – параллелограмм АК – биссектриса АВ = 5 см. Найти : ВК =? Дано : АВС D – параллелограмм АК и D Е – биссектрисы А D = 8 см, О D = 4 см. Найти : < АО D и < О D А. А В К С D А В ЕК С D О

ЗАДАЧА 3 ЗАДАЧА 4 1. В параллелограмме АВС D провели биссектрисы АМ и DN. АВ = 5 см, ВС = 10 см. Где пересекутся биссектрисы АМ и DN? 2. В параллелограмме АВС D провели биссектрисы АМ и DN. АВ = 16 см, ВС = 30 см. Где пересекутся биссектрисы АМ и DN? 3. В параллелограмме АВС D провели биссектрисы АМ и DN. АВ = 8 см, ВС = 18 см. Где пересекутся биссектрисы АМ и DN? АВС D – параллелограмм. АК и СМ – биссектрисы. Найди и точно дай названия ещё трём фигурам на рисунке ( используйте 6 свойство биссектрис параллелограмма ). А В К С D М

Для определения сторон MN и MQ находим последовательно BQ ( из BCQ по теореме синусов ), BM и AM ( из BMA), AN ( из NAD), и, наконец, MN = |AN – AM|, MQ = |BQ – BM| Итак