Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой Задача 1. Задача 2. Задача 1. Задача 2. Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки до плоскости Задача 1. Задача 2. Задача 1. Задача 2. Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Задача 1. Задача 2. Задача 1. Задача 2. Угол между двумя прямыми Угол между двумя прямыми Угол между двумя прямыми Угол между двумя прямыми Задача 1, Задача 2. Задача 1, Задача 2. Угол между прямой и плоскостью Угол между прямой и плоскостью Угол между прямой и плоскостью Угол между прямой и плоскостью Задача1. Задача 2. Задача1. Задача 2. Угол между двумя плоскостями Угол между двумя плоскостями Угол между двумя плоскостями Угол между двумя плоскостями Задача 1. Задача 2. Задача 1. Задача 2.

1.Определение: Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Углом между двумя прямыми называется меньший из них. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°. Угол между параллельными прямыми равен 0°.

А1А1 А В D D1D1 B1B1 С С1С1 2.Скрещивающиеся прямые Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым. В кубе A…C 1 A…C 1 прямые прямые AD 1 AD 1 и DC 1 DC 1 –скрещивающиеся (т.к. лежат в разных плоскостях и не пересекаются). Пользуясь определением угла между скрещивающимися прямыми, получаем: AD 1 AD 1 II BC 1 BC 1 => заменим одну прямую другой. DC 1 B DC 1 B – искомый.

Для решения задач C 2 первого типа, практически всегда приходиться применять формулы и теоремы. 1)Теорема косинусов: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. 2)При решении векторным способом: скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.. a²=b²+c²- 2bccosα

Ключевая задач Ключевая задача В единичном кубе А…D1 найдите угол между прямыми АВ1 и ВС1. С А1 А В D D1D1 B1B1 C1C1 РЕШЕНИЕ Рисунок

С А1 А В D D1D1D1D1 B1B1B1B1 С1

1.Прямые АВ1 и ВС1 - скрещивающиеся. Прямая АD1ll ВС1 2. Заменим прямую ВС1 прямой АD1 3.Следовательно искомый D1АВ1 4.Рассмотрим D1АВ1 - равносторонний. Так как АD1=D1В1=В1А (куб единичный, данные стороны являются диагоналями соответствующих квадратов). Исходя из этого, по свойству углов в равностороннем треугольнике (все углы равны). 5.Искомый D1АВ1=60° 5.Искомый D1АВ1=60° Ответ: 60° C1C1 С А1 А В D D1D1 B1B1

Тренировочное задание В кубе А…D 1 найдите косинус угла между прямыми АВ и СА 1. РЕШЕНИЕ 1 РЕШЕНИЕ 1 С А1 А В D D1D1 B1B1 C1C1 РЕШЕНИЕ 2 РЕШЕНИЕ 2 Рисунок 1 Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 2

С А В D D1D1D1D1 B1B1B1B1 C1C1C1C1 А1

С А1 А В D D1D1 B1B1 C1C1

1. АВ и А 1 С скрещивающиеся. 2. АВ II А 1 В 1 => искомый угол В 1 А 1 С 3. В А 1 В 1 С, так как А 1 В 1 С=90° (т.к. А 1 В 1 (ВВ 1 С 1 С), а значит по определению и любой прямой лежащей в этой плоскости А 1 В 1 В 1 С) 4. По определению косинуса: cos В 1 А 1 С= 5. А 1 В 1 =1 6. А 1 С²=1²+(2)²=3, =>А 1 С=3 7. сos В 1 А 1 С=1/3=3/3 Ответ: 3/3 А1 С А В D D1D1 B1B1 C1C1 1 СПОСОБ

С А1 А В D D1D1 B1B1 C1C1 2 СПОСОБ 1. Введем систему координат с началом в точке А и осями АВ(Ох); АD(Оу); АА 1 (Оz); 2. Рассмотрим в данной системе координат векторы АВ и А 1 С 3. Найдем координаты вектора АВ (1;0;0) 4. А 1 (0;0;1); С (1;1;0) =>А 1 С (1;1;-1) 5. Пусть α угол между АВ и А 1 С, тогда cosα= АВА 1 С=1+0+0=1 IАВI= IА 1 СI= 6. сosα=1/(13)=1/3=3/3 Ответ: 3/3

1. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. 2. Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0. В α αיαיαיαי а А С а α =А ВС α ВАС – искомый угол ВАС – искомый угол

Замечания: Если находить угол между данной прямой и перпендикуляром к данной плоскости, обозначив его α, тогда искомый уголα равен (90°-α) тогда искомый угол α равен (90°-α) β βיβיβיβי а А С В Находят АВС=α, тогда искомый ВАС=(90°-α), т.к. АВС – прямоугольный; а сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°

Ключевая задача В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BE и плоскостью SAD, где Е – середина ребра SC В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BE и плоскостью SAD, где Е – середина ребра SC. S А B D C E РЕШЕНИЕ Рисунок

S А B D C E F S S1S1 B F C E H К

1. Проведем SF II AB, SF=AB=1 2. В тетраэдре SBСF все ребра равны 1 и (ВСF) II (SAD) S А B D C E F

3. Перпендикуляр EH опущенный из Е на плоскость (ВСF) равен половине высоты тетраэдра 4. Из SBS 1 S1=90°, SB=1 5. BS 1 - радиус описанной окружности R 1 = 2/3BК BК – высота равностороннего треугольника, => BК=(а3)/2, т.е. BК= 3/2, => R 1 = 3/3 6. SS1= SS1= ;SS 1 = 6/3; EH =6/6 7. EBH – искомый, sin B=EH/BE, BE – медиана, высота равностороннего треугольника, =>BE= 3/2 8. sin B=(62)/(63)=2/3 Ответ: 2/3 Ответ: 2/3 S S1 B F C E H К

Тренировочная задача В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1. Найдите синус угла между прямой BD и плоскостью (SBC). S А B D C O РЕШЕНИЕ Рисунок

А B D C O S H

. Проведем DH (SBC), тогда HBD-искомый угол между прямой BD и плоскостью (BSC); 1. Проведем DH (SBC), тогда HBD-искомый угол между прямой BD и плоскостью (BSC); 2. sin HBD=DH/BD; BD= 2 3. Для нахождения DH воспользуемся формулой объема пирамиды: V=1/3S оснH, где H-высота 4. Найдем объем пирамиды SCBD двумя способами: 1).V 1 =1/3SSBC DH; 2).V2=1/3SDBC SO; V 1 =1/3(a ² 3 /4)DH=3/12DH V 2 =1/31/2 11SO=1/6 SO 5. Найдем SO из SOA –прямоугольный ( SOA=90 ° ) по т.Пифагора ( SOA=90 ° ) по т.Пифагора SO= ; SO = 6. V 2 =1/62/2= 2/12 V 1 =V 2 = 3/12DH= 2/12 7. DH= 2/1212/3= 2/3= 6/3 8. sin HBD= 6/31/2= 6/32=3/3 Ответ: 3/3 Ответ: 3/3А B D C O S H

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0°; 180°). Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0°; 180°). Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0°; 90°]. Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0°; 90°]. Угол между двумя параллельными плоскостями равен 0°. Угол между двумя параллельными плоскостями равен 0°.

В единичном кубе А…D1 найдите тангенс угла между плоскостями (АА1D) и (BDC1) РЕШЕНИЕ Ключевая задача Рисунок

E

1.Так как (АА 1 D 1 D) II (BB 1 C 1 С) (BDC 1 )(BB 1 CC 1 )=BC 1 2. Пусть Е-середина ВС 1, (т.к. BC 1 C- прямоугольный, равнобедренный); 3. ВС=СC 1 4. CE BC 1 => DE BC 1 ; 5. т.е. DEC – линейный угол двугранного угла. 6. ECD=90°(по теореме о трех перпендикулярах); 7. tg DEC = DC/EC; DC=1 8. Найдем EC= 2/2 Ответ: 2 Ответ: 2 E

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1. Найдите косинус двугранного угла, образованного гранями (SBC) и (SCD) Тренировочная задача А B D C S РЕШЕНИЕ Рисунок

А B D K S O С

1. (SCB)(SDC)=SC 2. Построим линейный угол двугранного угла. 3. Пусть K – середина ребра SC; 4. Т.к. BSC и DSC- равносторонние, то медианы BK и DK являются высотами соответствующих треугольников; 5. Т.к. BK SC и DK SC, то DKB- линейный угол искомого DKB- линейный угол искомого двугранного угла 6. DK=KB= (a²3)/2, где а=1, т.е. DK=KB =3/2 7. DB=2 (диагонали квадрата) 8. Из DKB по теореме косинусов найдем угол. DKB= ; DKB= cos DKB= ; cos DKB= Ответ: (-1)/3 Ответ: (-1)/3 C А B D KSO

Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка – перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка – перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой. a bA A1A1A1A1 B1B1B1B1 A а; проводим с а; через А прямую b II с; =>b a, а; через А прямую b II с; =>b a, AB а. AB – искомое расстояние. a bAB с a II b, А а, => АА 1 или АВ 1 – искомые расстояния

В единичном кубе А…D1 найдите расстояние от точки А до прямой BD1. РЕШЕНИЕ 1 РЕШЕНИЕ 1 РЕШЕНИЕ 2 РЕШЕНИЕ 2 РЕШЕНИЕ 3 РЕШЕНИЕ 3A B C D B1B1B1B1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 Ключевая задача B A1A1A1A1 D Рисунок

C A B D A1A1A1A1 B1B1B1B1 D1D1D1D1 H С1

1 СПОСОБ 1. Из точки А опустим перпендикуляр на прямую BD 1 2. AH – искомое расстояние 3. Рассмотрим ABD 1 – прямоугольный ( D1AB=90°) 4. Из ABD 1 : AB=1, AD1=2 (по т.Пифагора), BD1=3 ( как диагональ единичного куба) 5. Найдем AH используя способ площадей. Найдем площадь ABD 1 двумя способами: 6. S 1 =1/2AD 1 AB S 2 =1/2AHBD 1 7. S 1 = 1/221=2/2, так как S 1 S 2, то 2/2=1/2AH3 8. Отсюда, AH = 6/3 Ответ: 6/3 C1C1C1C1 C A B D A1A1A1A1 B1B1B1B1 D1D1D1D1 H

2 СПОСОБ 1. Из точки А опустим перпендикуляр на прямую BD 1 2. AH – искомое расстояние 3. Рассмотрим ABD 1 – прямоугольный ( D1AB=90°) 4. Из ABD 1 : AB=1, AD 1 =2 (по т.Пифагора), BD 1 =3 ( как диагональ единичного куба) 5. Рассмотрим BAD 1 и BHA. 6. BAD 1 ~BHA по трем углам: B – общий, BHA= BAD 1 =90°, => B – общий, BHA= BAD 1 =90°, => BAH= AD1H BAH= AD1H 7. Из подобия треугольников следует и пропорциональность сторон: AD 1 /BD 1 = AH/AB 8. AH=(AD 1 AB)/BD 1 9. АH=(21)/3= 2/3=(23)/(33)=6/3 Ответ: 6/3 Ответ: 6/3 H A B C D A1A1A1A1 B1B1B1B1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 H

1. Из точки А опустим перпендикуляр на прямую BD 1 2. AH – искомое расстояние 3. Рассмотрим ABD 1 – прямоугольный ( D 1 AB=90°) 4. Из ABD 1 : AB=1, AD 1 =2 (по т.Пифагора), BD 1 =3 (как диагональ единичного куба) (как диагональ единичного куба) 5. Из ABD 1 : sin ABD 1 = 6/3 6. =>AH=AB sin ABD 1 = 6/3 Ответ: 6/3 3 СПОСОБ A B C D A1A1A1A1 B1B1B1B1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 H

Тренировочное задание В правильной шестиугольной призме A…F 1, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от точки B до прямой AD 1. РЕШЕНИЕ Рисунок

1. В AD 1 B: AB=1, AD1= ( Из ADD 1 ; D=90 °) 2. AD 1 = 3. BD 1 = ;( Из BDD 1 ; D=90 °), BD 1 = 4. ABD 1 – прямоугольный ( D 1 BA=90 °) (По теореме о трех перпендикулярах BD AB) 5. Для нахождения расстояния от точки В до прямой AD1: BH воспользуемся формулами площадей: 6. S ABD 1 =1/2ABBD 1 S ABD 1 =1/212=1 7. S ABD 1 =1/2AD1BH, где BH AD 1 8. BH=(2SABD 1 )/ AD 1 ; BH=(21)/5=2/5=25/5 Ответ: 25/5 Ответ: 25/5

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. A Из точки А проведены к плоскости α перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В – основание перпендикуляра, точка С – основание наклонной, ВС – проекция наклонной АС на плоскость α. α C B

Для решения задач такого типа приходится применять теорему о трех перпендикулярах: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. α C BА AיAיAיAי c β AB α; AC – наклонная; с – прямая, проходящая через основание С наклонной, с Є α; Проведем СAי II AB; СAי α; Через AB и AיС проведем β; с САי; если с СВ, то с β => с АС; Аналогично доказывается и обратное утверждение. AB α; AC – наклонная; с – прямая, проходящая через основание С наклонной, с Є α; Проведем СAי II AB; СAי α; Через AB и AיС проведем β; с САי; если с СВ, то с β => с АС; Аналогично доказывается и обратное утверждение.

В единичном кубе АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 найдите расстояние от точки А до плоскости ВDА 1 РЕШЕНИЕ 1 РЕШЕНИЕ 1 РЕШЕНИЕ 2 РЕШЕНИЕ 2 РЕШЕНИЕ 3 РЕШЕНИЕ 3 РЕШЕНИЕ 4 РЕШЕНИЕ 4 Ключевая задача Рисунок

H O

1 СПОСОБ 1. О – середина BD, 2. Т.к. AC и BD–диагонали квадрата; AC BD 3. Значит по теореме о трех перпендикулярах BD A 1 О 4. (BDA 1 )(АА 1 О)=А 1 О По признаку BD (АA 1 О) 5. Искомый перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость (BDA 1 ) является высота AH прямоугольного АA 1 О 6. АА 1 =1; АО=2/2; А 1 О= 7. Найдем АH используя способ площадей. Площадь АА 1 О найдем двумя способами. 8. S АА 1 О =(1/2)АА 1АO S АА 1 О =(1/2)1 (2/2)=2/4 9. S АА 1 О =(1/2)А 1 ОАH, АH= АH= Ответ: 3/3 Ответ: 3/3 О H

2 СПОСОБ 1. О – середина BD, 2. Тогда AC и BD–диагонали квадрата; AC BD 3. Значит по теореме о трех перпендикулярах BD A 1 О 4. (BDA 1 )(АА 1 О)=А 1 О По признаку BD (АA 1 О) 5. Искомый перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость (BDA 1 ) является высота AH прямоугольного АA 1 О АA 1 О 6. АА 1 =1; АО=2/2; А 1 О= 7. Из AА 1 О: sin AОА 1 =6/3, =>AH=AОsin AОH=3/3 Ответ: 3/3 О H

3 СПОСОБ 1. О – середина BD, 2. Тогда AC и BD–диагонали квадрата; AC BD 3. Значит по теореме о трех перпендикулярах BD A 1 О 4. (BDA 1 )(АА 1 О)=А 1 О По признаку BD (АA 1 О) 5. Искомый перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость (BDA 1 ) является высота AH прямоугольного АA 1 О 6. АА 1 =1; АО=2/2; А 1 О= 7. Рассмотрим АОА1 и HОA. 6. АОА1~HОA по трем углам: О – общий, ОHA= ОAА1=90°, => HAО= AА1H О – общий, ОHA= ОAА1=90°, => HAО= AА1H 7. Из подобия треугольников следует и пропорциональность сторон: AА1/ОА1= AH/AО 8. AH=(AА1AО)/А1О 9. АH= 9. АH= Ответ: 3/3 Ответ: 3/3 О H

4 СПОСОБ Рассмотрим пирамиду AA 1 BD и найдем объем двумя способами. Пусть AH-искомый перпендикуляр V=1/3SоснH, где H-высота 1).V 1 =1/3S АBD AA 1 ; 2).V 2 =1/3SA 1 BD AH; V 1 =1/31/2 1=1/6 V 2 =, где а=2 AH= Ответ: 3/3 Ответ: 3/3 О H

Тренировочная задача В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки А до плоскости (BDC 1 ). С А1А1 А В D D1 B1 C1 РЕШЕНИЕ Рисунок

С А1А1 А В D D1 B1 C1 H K

С А1А1 А В D D1 B1 C1 Воспользуемся формулами объемов для пирамиды C 1 BAD. Пусть AH-искомое расстояние V=1/3SоснH, где H-высота 1).V 1 =1/3SАBDСС 1 ; СС 1 =1; SАBD=1/211=1/2 V 1 =1/31/2 1=1/6 2).V 2 =1/3SС 1 BDAH; SС 1 BD= (a²3 /4), где а=2 SС 1 BD= (23 /4)=3/2 V 2 =1/3 3/2AH=3/6AH Из 1) и 2) 1/6= 3/6AH AH=(1/6)(6/3)=1/3=3/3 Ответ: 3/3 H K

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра. Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр и притом только один. Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые. γ β а аיаיаיаי В α А b а и b–скрещивающиеся прямые; а II аי; аי b=B; aי Є α, b Є α, a Є β, β II α, АВ – искомое расстояние а и b–скрещивающиеся прямые; а II аי; аי b=B; aי Є α, b Є α, a Є β, β II α, АВ – искомое расстояние

Ключевая задача В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми SA и BC. А B D C S РЕШЕНИЕ Рисунок

А B D C S F H E O

1. Прямые ВС и SA - скрещивающиеся 2. Прямая ВС (SBC); Прямая SA (SAD); 3. ВС II (SAD) => расстояние между скрещивающимися прямыми SA и ВС равно расстоянию от прямой ВС до плоскости (SAD); 4. Пусть E и F соответственно середины ребер AD и BC. Тогда искомым перпендикуляром будет высота FH SEF. 5. В SEF: EF=АВ=1; SE=SF-высоты равнобедренных SAD иSBC соответственно, => SE=SF=3/2 SO – высота четырехугольной пирамиды из прямоугольногоSOF по теореме Пифагора: SO=2/2. 6. Найдем FH используя способ площадей. Площадь SEF найдем двумя способами. 7. S SEF=(1/2)EFSO SSEF=(1/2)1 (2/2)=2/4 8. S SEF=(1/2)SEHF, => HF=(2/4)/((1/2)3/2)=(2/4)/(3/4)= =2/3=6/3. Ответ: 6/3 Ответ: 6/3 А B D CSF H E O

РЕШЕНИЕ Тренировочная задача В правильной шестиугольной призме A…F 1, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми AA 1 и CF 1. Рисунок

M

Прямые АА 1 и СF 1 - скрещивающиеся Расстояние между прямыми АА 1 и СF 1 равно расстоянию между параллельными плоскостями (АВВ 1 А 1 ) и (FCC 1 F 1 ), в которых лежат эти прямые. A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 - правильный шестиугольник; A 1 B 1 II F 1 C 1 ; B 1 D 1 F 1 C 1 ; B 1 M F 1 C 1 =M B 1 M – искомое расстояние Из B 1 C 1 D 1 по теореме косинусов B 1 D 1 =3, B 1 M =1/2B 1 D 1 =3/2 Ответ: 3/2 M