ЦилиндрЦилиндр Учитель математики Бабаева Людмила Яковлевна. МБОУ СОШ 70 с углубленным изучением отдельных предметов, г.Казань

Греч. (кюлиндрос). Античный термин. В обиходе --- свиток папируса, валик, каток (глагол --- крутить, катать). У Евклида цилиндр получается вращением прямоугольника. У Кавальери --- движением образующей (при произвольной направляющей --- "цилиндрика").

СодержаниеСодержание 1.Определение цилиндраОпределение цилиндра 2.Сечения цилиндраСечения цилиндра 3.Развертка боковой поверхностиРазвертка боковой поверхности 4.Площадь боковой поверхности цилиндраПлощадь боковой поверхности цилиндра 5.Площадь полной поверхности цилиндраПлощадь полной поверхности цилиндра 6.ЗадачаЗадача 7.ТестТест

Определение цилиндра Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L, называется цилиндром

Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра. Круги – основания цилиндра. Отрезки АВ и МР – образующие цилиндра. Прямая ОО, - ось цилиндра. Длина образующей называется высотой цилиндра. Радиус основания – радиус цилиндра. A B M P O1 O

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. (цилиндр полученный вращением прямоугольника АВСD вокруг стороны АВ. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны СD, а основания – вращением сторон ВС и AD. Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. (цилиндр полученный вращением прямоугольника АВСD вокруг стороны АВ. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны СD, а основания – вращением сторон ВС и AD.

Сечения цилиндра Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, 2 стороны которого – образующие, а 2 другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение – осевое. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом.

Развёртка боковой поверхности цилиндра В результате развертки боковой поверхности, так чтобы все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости β, в этой плоскости получится прямоугольник АВВ´А´. Стороны АВ и А´В´ прямоугольника представляет собой 2 края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ. Этот прямоугольник называется развёрткой боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра. S бок =2πrh Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра. S бок =2πrh

Площадь полной поверхности цилиндра Площадь полной поверхности цилиндра Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. (т. к. площадь каждого основания равна πr², то для вычисления площади S цил полной поверхности цилиндра получаем формулу) S цил =2πr(r+h) Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. (т. к. площадь каждого основания равна πr², то для вычисления площади S цил полной поверхности цилиндра получаем формулу) S цил =2πr(r+h) r h

Задача… Высота цилиндра равна 12 см, а радиус основания равен 10 см. цилиндр пересечен плоскостью, параллельной его оси, так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости (d), площадь сечения, площадь боковой и полной поверхности цилиндра. Высота цилиндра равна 12 см, а радиус основания равен 10 см. цилиндр пересечен плоскостью, параллельной его оси, так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости (d), площадь сечения, площадь боковой и полной поверхности цилиндра.

И так… Рассмотрим АОD, в нем АО=ОD=r=10 cм => АОD – равнобедренный. => ОР- медиана, биссектриса и высота этого треугольника. Рассмотрим РОD, в нем угол ОРD=90°, РD=½АD=12:2=6см(т.к. АD=АВ=12см). По теореме Пифагора: РО²= ОD²- РD²; РО²= =64; РО=8 => d=8см. S сеч =AB² =>S сеч =12²=144 см². S бок =2πrh =>S бок =2π·10·12=240π см². S цил =2πr(r+h) =>Sцил=2π·10(10+12)=200π+240π=440π см². ОТВЕТ:d=8см;S сеч =144см 2 S бок =240π см²;S цил =440π см². Рассмотрим АОD, в нем АО=ОD=r=10 cм => АОD – равнобедренный. => ОР- медиана, биссектриса и высота этого треугольника. Рассмотрим РОD, в нем угол ОРD=90°, РD=½АD=12:2=6см(т.к. АD=АВ=12см). По теореме Пифагора: РО²= ОD²- РD²; РО²= =64; РО=8 => d=8см. S сеч =AB² =>S сеч =12²=144 см². S бок =2πrh =>S бок =2π·10·12=240π см². S цил =2πr(r+h) =>Sцил=2π·10(10+12)=200π+240π=440π см². ОТВЕТ:d=8см;S сеч =144см 2 S бок =240π см²;S цил =440π см².

ТЕСТ ТЕСТ

1. Длина образующей – это …… цилиндра. Ось Высота Основание Радиус

Увы, неправильно…

Молодец! Правильно…

2. Какая геом. фигура получится при сечении цилиндра плоскостью параллельной оси цилиндра? Круг Треугольник Прямоугольник Шестиугольник

Увы, неправильно…

Молодец! Правильно…

3. Формула площади полной поверхности цилиндра… S=2πr(r+h) S=½πr(r+h) S=2πrh S=2πr(r+h)²

Увы, неправильно…

Молодец! Правильно…

4. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 42 см. Найдите высоту цилиндра ½5½ 4

Увы, неправильно…

Молодец! Правильно…

5. Осевое сечение цилиндра – квадрат, со стороной а. найдите площадь полной поверхности цилиндра 2πа²2πа² 3πа²3πа² 3·½πа²3·½πа² 6πа6πа

Увы, неправильно…

Молодец! Правильно…

Автор: Бабаева Л. Я. учитель математики школы 70 г. Казани.