Скорость распада радия прямо пропорциональна наличной его массе. Определить, какой процент массы m 0 радия распадется через 200 лет, если известно, что период полураспада радия (период времени, по истечении которого распадается половина наличной массы радия) равен 1590 лет.

Скорость распада радия измеряется его количеством, распавшимся в единицу времени. За малый промежуток времени t, истекший с некоторого момента времени t, количество распавшегося радия равно km t где m количество радия в данный момент, k коэффициент пропорциональности. Это же количество, взятое с отрицательным знаком (масса убывает), равно приращению массы за время t: m= - kmt (1)

Обе части равенства (1) делим на t и переходим к пределу при t 0. Тогда Разделяем переменные: (2) Интегрируя уравнение (2), находим Или после потенцирования m =Сe -kt (3) Начальное условие: m=m 0 при t =0, где m 0 – масса в начальный момент t =0.

Подставляя эти величины в уравнение (3), имеем m 0 = Ce -k0, откуда С=m 0. Уравнение (3) представим теперь следующим образом: m=m 0 e -kt. Коэффициент k определяется из дополнительного условия: при T =1590 Таким образом, или – 1590 k = –Ln2, k =0,00044.

Искомая функция m(t)=m 0 e -0,00044 t. Количество радия, не распавшегося через 200лет, m(200)= m 0 e -0,00044 t х 200 = m 0 e - 0,088 =0,915 m 0. Следовательно, через 200 лет распадётся лишь 8,5 % радия.

6) Радиоактив ный распад m количество радия в данный момент, k коэффициен т пропорциона льности t - время m=Сe-ktЧерез 200 лет распадёт ся 8,5% радия