Генеральные методы решения уравнений Костина О.А. учитель высшей категории МОУ ЛАП 135 Г. Самара

Функционально-графический метод решения уравнений

Функционально-графические методы Графический метод. Графический метод. Использование ограниченности функции. Использование ограниченности функции. Использование монотонности функции. Использование монотонности функции.

Подготовил и ученики 11 класса Морозов Л., Рахманов Д., СофинскийД.

Графический методФункциональный метод Обычно используется для уравнений, содер- жащих разные функции (напри- мер, 5x=ctg(x)) Основан на использовании свойств функции, обычно применяется для функций, постро- ение графиков которых затруднительно

Графический метод решения уравнения f(x)=g(x) заключается в 1)упрощении функций f(x) и g(x) (если возможно) 2)построении графиков функций y=f(x) и y=g(x) 3)нахождени и точки пересечения этих графиков 4)корнем уравнения будет абсцисса точки пересечени я

По рисунку определите корень уравнения f(x)=g(x): 1 2 y = g(x) y= f(x )

Использование ограниченности функции Составили ученики 11 класса Хорунжев А., Жиляков В, Заворотков А

Метод мажорант. Если на множестве Ψ наибольшее значение одной из функций y=f(x), y=g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x) равносильно на множестве Ψ системе уравнений: g(x)= Ψ f(x)= Ψ

в обеих частях уравнения стоят функции разного вида;. в одной части уравнения функция, ограниченная сверху, а в другой – ограниченная снизу; в одной части уравнения стоит функция, ограниченная сверху или снизу, а в другой – конкретное число Когда применяется

1)Найдем область значений функций и : Е( f)=[0;+) и Е( g)= (-;0 ]. 2)Из Е( f) и Е (g) делаем вывод, что ; Ответ: х=0. Пример

Х = 4

,т к функция у = log t возрастающая И

так как

Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе уравнение получаем верное числовое равенство Ответ: х=-2.

Применима ли теорема для решения данных уравнений: 1.x²+100 = cos x, x² = 2cos x, 3.x²+3 = cos x+2, 4. |x|+14 = 5sin x, 5. cos x = |x|+1,. 6.-cos 7πx = x²-6x+10.

Решение уравнения 3.

Решение уравнения 5 cos x= |x|+1. Решение.

Решение уравнения 6 -cos 7πx= x 2 -6x+10. Решение.

Решить уравнение x 2 -6x+10= |cos π/3 x|. Решение.

Использование мрнотонности Составили ученики 11 класса Колушев А, Антошин А., Леонтьев В.

Если одна из функций( F(x)) убывает, а другая (G(x)) возрастает на некоторой области определения, то уравнение F(x)=G(x) имеет не более одного решения.

Порядок решения уравнения функцио- нальным методом: Определение свойства функции Нахождение ОДЗ или промежутков монотонности функции (в зависимости от свойства функции) Нахождение корня подбором(1 св- во), решение системы уравнений (2 св-во, см. пред. слайд)

Но: при решении системы нужно также найти ОДЗ, иначе: Возникнет посторонний корень!

Решить уравнение Решение: область определения данного уравнения x>0. Исследуем на монотонность функции.

Первая из них –убывающая (так как это - логарифмическая функция с основанием больше нуля, но меньше единицы), а вторая – возрастающая (это линейная функция с положительным коэффициентом при х). Подбором легко находится корень уравнения х=3, который является единственным решением данного уравнения. Ответ: х=3.

Использование монотонности функции. От уравнения вида h(f(x))=h(g(x)) переходим к уравнению вида f(x)=g(x) f(x)=g(x)

При монотонности функции При монотонности функции f(x)=g(x) f(x)=g(x) Пример: Пример: 2x+3=5x-9 2x+3=5x-9 -3x=-12 -3x=-12 x=4 x=4 Ответ: 4 Ответ: 4

lg ( x+3) = lg 5x x+3 = 5x X+4 = 4x

Ошибки sin (4x+π/6) = sin 3x sin (4x+π/6) = sin 3x 4x+π/6 = 3x НЕВЕРНО!(функция периодическая) 2x + 7 = 5x -12 НЕВЕРНО!(четная степень)

Методы решения функциональных уравнений f(g(x)) = f(h(x)). Дано уравнение: Теорема. Если функция y = f(x) – возрастающая (или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения f(g(x)) = f(h(x)), то уравнения f(g(x)) = f(h(x)) и g(x)=f(x) равносильны.

Расссмотрим функциональное уравнение f(2x+1) = f(-x), Где f(x) = f( ) Найдите производную. Определите её знак.

Т.к. производная всегда положительная, то функция возрастающая на всей числовой прямой,то мы переходим к уравнению 2х+1 = - х Х = - 1/3.

Решите уравнение х 6 - | х| 3 = 27соs х соs( x). Решение: 1)уравнение приводится к виду х соs x 2 = | x| соs( x), f(x 2 ) = f( x), где f(t) = |t| 3 -27соst; 2)Функция f - четная и при t > 0 имеет следующую производную f(t)= поэтому f'(t)> 0 при всех t >0

Следовательно, функция f возрастает на положительной полуоси, а значит, каждое свое значение она принимает ровно в двух симметричных относительно нуля точках. 3)Данное уравнение равносильно следующей совокупности: X 2 = ±(13+12x): Ответ: -1, 13, -6±π/23.