1 ПРАВИЛЬНЫЕ И ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

2 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, правильный тетраэдр, куб (гексаэдр), куб (гексаэдр), октаэдр, октаэдр, додекаэдр, додекаэдр, икосаэдр. икосаэдр.

3название форма грани количествоГранейВершинРёбер Тетраэдр Правильный треугольник КубКвадрат Октаэдр Додекаэдр Правильный пятиугольник Икосаэдр Правильный треугольник Заполните таблицу:

4название форма грани количествоГранейВершинРёбер Тетраэдр Правильный треугольник 446 КубКвадрат6812 Октаэдр 8612 Додекаэдр Правильный пятиугольник Икосаэдр Правильный треугольник ПРОВЕРЬТЕ!

5 В соответствии с этими данными и были названы правильные многогранники: В соответствии с этими данными и были названы правильные многогранники: тетраэдр (от греческих слов «тетра» четыре и (h)edra грань); тетраэдр (от греческих слов «тетра» четыре и (h)edra грань); гексаэдр («гекса» шесть); гексаэдр («гекса» шесть); октаэдр («окто» восемь); октаэдр («окто» восемь); додекаэдр («додека» двенадцать); додекаэдр («додека» двенадцать); икосаэдр («икоси» двадцать). икосаэдр («икоси» двадцать).

6 Это интересно! Леонард Эйлер доказал теорему о связи количества граней, вершин и рёбер правильного многогранника: Леонард Эйлер доказал теорему о связи количества граней, вершин и рёбер правильного многогранника: Г + В = Р + 2. А позднее он показал, что эта теорема выполняется для любого выпуклого многогранника. А позднее он показал, что эта теорема выполняется для любого выпуклого многогранника. ПРОВЕРЬТЕ! ПРОВЕРЬТЕ!

7 Немного истории… Правильные многогранники были известны еще в Древней Греции. Правильные многогранники были известны еще в Древней Греции. Придумать правильные многогранники, по-видимому, было нетрудно: это формы природных кристаллов. Придумать правильные многогранники, по-видимому, было нетрудно: это формы природных кристаллов. Например, монокристалл поваренной соли (NaCl) это куб. Существует предположение, что додекаэдр древние греки увидели, рассматривая кристаллы пирита (серного колчедана FeS). Имея додекаэдр, несложно получить икосаэдр: его вершинами являются центры граней додекаэдра. Например, монокристалл поваренной соли (NaCl) это куб. Существует предположение, что додекаэдр древние греки увидели, рассматривая кристаллы пирита (серного колчедана FeS). Имея додекаэдр, несложно получить икосаэдр: его вершинами являются центры граней додекаэдра. У древнегреческого мыслителя Платона четыре многогранника олицетворяли четыре стихии: У древнегреческого мыслителя Платона четыре многогранника олицетворяли четыре стихии: тетраэдр огонь, куб землю, октаэдр воздух, икосаэдр воду, А додекаэдр олицетворял ВСЁ МИРОЗДАНИЕ.

8 Учение о правильных многогранниках, содержащееся в последней XIII книге Евклида, является венцом его «Начал». Учение о правильных многогранниках, содержащееся в последней XIII книге Евклида, является венцом его «Начал». Сначала Евклид устанавливает существование этих многогранников, показывает как вписать их в сферу. Сначала Евклид устанавливает существование этих многогранников, показывает как вписать их в сферу. После этого Евклид доказывает в 18-м, последнем предложении XIII книги, что, кроме упомянутых пяти тел, нет других правильных многогранников. После этого Евклид доказывает в 18-м, последнем предложении XIII книги, что, кроме упомянутых пяти тел, нет других правильных многогранников. Некоторыми сведениями о многогранниках обладали еще древние египтяне. Древнегреческий математик Прокл (V в.) приписывает построение пяти правильных многогранников Пифагору, однако, как было установлено позже, Пифагор мог знать, самое большее, гексаэдр (куб), тетраэдр и додекаэдр, в то время как октаэдр и икосаэдр были, вероятно, открыты лишь Теэтетом Афинским в IV в. до н. э. Последнего считают также автором X и XIII книг «Начал» Евклида. Некоторыми сведениями о многогранниках обладали еще древние египтяне. Древнегреческий математик Прокл (V в.) приписывает построение пяти правильных многогранников Пифагору, однако, как было установлено позже, Пифагор мог знать, самое большее, гексаэдр (куб), тетраэдр и додекаэдр, в то время как октаэдр и икосаэдр были, вероятно, открыты лишь Теэтетом Афинским в IV в. до н. э. Последнего считают также автором X и XIII книг «Начал» Евклида.

9 Пифагорейцы уделяли в своих космологических теориях особенно важное место правильным многогранникам, неоценимое превосходство которых над всеми другими телами они усмотрели в том, что их только пять. Этим объясняются такие названия, которые получили правильные многогранники: «космические фигуры», «идеальные фигуры», «платоновы тела». Пифагорейцы уделяли в своих космологических теориях особенно важное место правильным многогранникам, неоценимое превосходство которых над всеми другими телами они усмотрели в том, что их только пять. Этим объясняются такие названия, которые получили правильные многогранники: «космические фигуры», «идеальные фигуры», «платоновы тела». Правильными многогранниками занимался, по свидетельству Паппа Александрийского (которому, впрочем, принадлежит отличное от евклидова построение пяти правильных многогранников), и Архимед, однако и эти работы до нас не дошли. Правильными многогранниками занимался, по свидетельству Паппа Александрийского (которому, впрочем, принадлежит отличное от евклидова построение пяти правильных многогранников), и Архимед, однако и эти работы до нас не дошли. Архимеду принадлежит открытие тринадцати так называемых полуправильных многогранников («архимедовых тел»). Архимеду принадлежит открытие тринадцати так называемых полуправильных многогранников («архимедовых тел»).

10 «Архимедовы тела»: «Архимедовы тела»: усечённый тетраэдр усечённый тетраэдр усечённый куб усечённый куб усечённый октаэдр усечённый октаэдр усечённый додекаэдр усечённый додекаэдр усечённый икосаэдр усечённый икосаэдр дважды усечённый куб дважды усечённый куб дважды усечённый додекаэдр дважды усечённый додекаэдр икосододекаэдр икосододекаэдр усечённый икосододекаэдр усечённый икосододекаэдр ромбоикосододекаэдр ромбоикосододекаэдр кубооктаэдр кубооктаэдр усечённый кубооктаэдр усечённый кубооктаэдр ромбокубооктаэдр ромбокубооктаэдр

11 ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ Многогранник называется полуправильным, если он ограничен неодноименными правильными многоугольниками, в нём равны многогранные углы и одноименные многоугольники, причем в каждой вершине сходится одно и то же число одинаковых граней в одинаковом порядке. Многогранник называется полуправильным, если он ограничен неодноименными правильными многоугольниками, в нём равны многогранные углы и одноименные многоугольники, причем в каждой вершине сходится одно и то же число одинаковых граней в одинаковом порядке. Каждое из этих тел может быть вписано в сферу. Каждое из этих тел может быть вписано в сферу.

12 Существование нового «архимедова тела» - Существование нового «архимедова тела» -псевдоромбокубооктаэдра, который получается из ромбокубооктаэдра поворотом его верхней восьмиугольной «крышки» на 45 градусов по оси – который получается из ромбокубооктаэдра поворотом его верхней восьмиугольной «крышки» на 45 градусов по оси – открыл Миллер в 1930 г. и независимо от него В. Г. Ашкинузе и Л. Есаулова. Оба советских математика получили свои результаты независимо друг от друга и от Миллера. открыл Миллер в 1930 г. и независимо от него В. Г. Ашкинузе и Л. Есаулова. Оба советских математика получили свои результаты независимо друг от друга и от Миллера.

13 Кроме «архимедовых тел» к полуправильным многогранникам относятся все правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны. Кроме «архимедовых тел» к полуправильным многогранникам относятся все правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны. К полуправильным многогранникам относятся также все так называемые антипризмы. К полуправильным многогранникам относятся также все так называемые антипризмы.

14 И ещё немного истории… Интерес к правильным многогранникам возродился в эпоху Ренессанса, в частности, в кругах архитекторов и художников. Лука Пачоли под влиянием своего друга Леонардо да Винчи написал сочинение «О божественной пропорции» (1509), в котором рассматривает «золотое сечение» и «архимедовы тела». Интерес к правильным многогранникам возродился в эпоху Ренессанса, в частности, в кругах архитекторов и художников. Лука Пачоли под влиянием своего друга Леонардо да Винчи написал сочинение «О божественной пропорции» (1509), в котором рассматривает «золотое сечение» и «архимедовы тела». Полуправильные многогранники, нарисованные Леонардо да Винчи для книги Пачоли «О божественной пропорции» Полуправильные многогранники, нарисованные Леонардо да Винчи для книги Пачоли «О божественной пропорции»

15 Альбрехт Дюрер ( ), занимаясь многогранниками, показал, как можно построить из бумаги правильный и полуправильный многогранник, вырезав его развертку поверхности и затем сложив ее по соответствующим ребрам. Альбрехт Дюрер ( ), занимаясь многогранниками, показал, как можно построить из бумаги правильный и полуправильный многогранник, вырезав его развертку поверхности и затем сложив ее по соответствующим ребрам. РАЗВЁРТКА ДОДЕКАЭДРА РАЗВЁРТКА ДОДЕКАЭДРА

16 Иоганн Кеплер ( ), для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, в своем первом его крупном сочинении «Mysterium Cosmographicum» «Космографическая тайна» (1596) развил учение о двух видах выпуклых звездчатых многогранников (которые получаются из правильных многогранников продолжением граней или рёбер) и обстоятельно изложил теорию архимедовых тел. Иоганн Кеплер ( ), для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, в своем первом его крупном сочинении «Mysterium Cosmographicum» «Космографическая тайна» (1596) развил учение о двух видах выпуклых звездчатых многогранников (которые получаются из правильных многогранников продолжением граней или рёбер) и обстоятельно изложил теорию архимедовых тел. В начале прошлого столетия французский математик и механик Л. Пуансо ( ), геометрические работы которого относятся к звездчатым многогранникам, открыл существование еще двух видов правильных невыпуклых многогранников. В начале прошлого столетия французский математик и механик Л. Пуансо ( ), геометрические работы которого относятся к звездчатым многогранникам, открыл существование еще двух видов правильных невыпуклых многогранников. Таким образом, стали известны четыре типа подобных тел. В 1812 г. О. Коши доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует. Таким образом, стали известны четыре типа подобных тел. В 1812 г. О. Коши доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.

17 Итак, существует 5 типов правильных выпуклых многогранников («платоновых тел»); Бесконечное множество полуправильных многогранников (из них – 14 «архимедовых тел»); 4 типа правильных звездчатых многогранников.

18 А также великое множество других замечательных многогранников…

19 МАТЕМАТИКА ВЛАДЕЕТ НЕ ТОЛЬКО ИСТИНОЙ, НО И ВЫСШЕЙ КРАСОТОЙ - КРАСОТОЙ ОТТОЧЕННОЙ И СТРОГОЙ, ВОЗВЫШЕННО ЧИСТОЙ И СТРЕМЯЩЕЙСЯ К ПОДЛИННОМУ СОВЕРШЕНСТВУ, КОТОРОЕ СВОЙСТВЕННО ЛИШЬ ВЕЛИЧАЙШИМ ОБРАЗЦАМ ИСКУССТВА. МАТЕМАТИКА ВЛАДЕЕТ НЕ ТОЛЬКО ИСТИНОЙ, НО И ВЫСШЕЙ КРАСОТОЙ - КРАСОТОЙ ОТТОЧЕННОЙ И СТРОГОЙ, ВОЗВЫШЕННО ЧИСТОЙ И СТРЕМЯЩЕЙСЯ К ПОДЛИННОМУ СОВЕРШЕНСТВУ, КОТОРОЕ СВОЙСТВЕННО ЛИШЬ ВЕЛИЧАЙШИМ ОБРАЗЦАМ ИСКУССТВА. Бертран Рассел Бертран Рассел МАТЕМАТИКА ВЛАДЕЕТ НЕ ТОЛЬКО ИСТИНОЙ, НО И ВЫСШЕЙ КРАСОТОЙ - КРАСОТОЙ ОТТОЧЕННОЙ И СТРОГОЙ, ВОЗВЫШЕННО ЧИСТОЙ И СТРЕМЯЩЕЙСЯ К ПОДЛИННОМУ СОВЕРШЕНСТВУ, КОТОРОЕ СВОЙСТВЕННО ЛИШЬ ВЕЛИЧАЙШИМ ОБРАЗЦАМ ИСКУССТВА. МАТЕМАТИКА ВЛАДЕЕТ НЕ ТОЛЬКО ИСТИНОЙ, НО И ВЫСШЕЙ КРАСОТОЙ - КРАСОТОЙ ОТТОЧЕННОЙ И СТРОГОЙ, ВОЗВЫШЕННО ЧИСТОЙ И СТРЕМЯЩЕЙСЯ К ПОДЛИННОМУ СОВЕРШЕНСТВУ, КОТОРОЕ СВОЙСТВЕННО ЛИШЬ ВЕЛИЧАЙШИМ ОБРАЗЦАМ ИСКУССТВА. Бертран Рассел Бертран Рассел

А теперь – приступаем к ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ! УРА?

21 Презентация подготовлена: учителем математики МОУ «СОШ 2 города Билибино Чукотского АО» Шрамковой Ольгой Геннадиевной Список использованной литературы: 1.Г.И.Глейзер. История математики в школе. IX- X классы. – М.: Просвещение, М. Веннинджер. Модели многогранников. – М.: Мир, И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. Геометрия на профильном уровне. – М.: ПУ «Первое сентября», 2006.