Теоремы Чевы и Менелая. Учитель математики МБОУ сош28 г.Балаково Покатилова Н.А.

A C1C1 C B1B1 B A1A1 Теорема Чевы: Пусть в треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или на их продолжениях взяты соответственно точки А 1,В 1,С 1, не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые АА 1, ВВ 1, и СС 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:

Теорема Менелая: Пусть в треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или на их продолжениях взяты соответственно точки А 1,В 1,С 1, не совпадающие с вершинами треугольника. Точки А 1, В 1, и С 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда: AB1B1 C B A1A1 C1C1

Точка С 1 делит сторону АВ треугольника АВС в отношении 2 : 1. Точка В 1 лежит на продолжении стороны АС за точку С, и АС = СВ 1. В каком отношении делит прямая В 1 С 1 сторону ВС? Задача 1 A B C C1C1 B1B1 A1A1

Задача 2 В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?

Задача 3 Пусть АD – медиана треугольника АВС. На стороне АD взята точка К так, что АК : КD = 3 : 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Задача 4 В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А 1 и С 1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА 1 и СС 1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ 1. Найдите АР : РА 1.

Задача 5 Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Задача 6 Биссектрисы ВЕ и АD треугольника АВС пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQD равна 1, 2АС = 3 АВ, 3ВС = 4 АВ.

1. На продолжениях сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС взяты соответственно точки С 1, А 1, В 1 так, что АВ = ВС 1, ВС = СА 1, СА = АВ 1. Найдите отношение в котором прямая АВ 1 делит сторону А 1 С 1 треугольника А 1 В 1 С Точки А 1 и В 1 делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях 2 : 1 и 1 : 2. Прямые АА 1 и ВВ 1 пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь треугольника ОВС. Домашнее задание