МОУ «Лицей 1» 11 Б Работу выполнили Жадаев Василий и Коршунов Максим «Метод координат в пространстве». Применение метода при решении задач повышенного уровня сложности

Решение задач геометрического содержания традиционно вызывает у учащихся непреодолимые трудности. Из справки 2010 года: К заданию С2 приступили 3,7 % всех учащихся Одним из методов решения стереометрических задач является координатно-векторный метод. Он не требует знания большого количества теорем, достаточно нагляден и позволяет решить часть заданий С2 учащимся со средним уровнем подготовки. Актуальность проблемы

Если через точку проведены три попарно- перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и единичный отрезок, то говорят, что задана прямоугольная система координат. В прямоугольной системе координат каждой точке поставлена в соответствие тройка чисел – её координаты А (х;у;z) Коэффициенты х, у, z в разложении вектора по координатным векторам Называются координатами вектора в данной системе координат. а = хi + ej +zk a {x;e;z} Координаты точки, координаты вектора. Связь между координатами точки и вектора. i Х z y 0,0,00,0,0 А(х;у;z) В(х1;у1;z1)

Формулы для решения задач: Координаты середины отрезка равны полу сумме соответствующих координат его концов. ОС=0,5(ОА + ОВ) или Х= 0,5(х 1 +х 2 ), У= 0,5(у 1 +у 2 ), Z =0,5(z 1 +z 2 ) Вычисление длины вектора по его координатам IаI = х 2 +у 2 +z 2 Расстояние между точками М 1 (х 1 ;у 1; z 1 ) и М 2 (х 2 ;у 2 ;z 2 ) вычисляется по формуле: d = (х 1 -х 2 ) 2 + (у 1 – у 2 ) 2 + (z 1 – z 2 ) 2

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов Угол между векторами а и в равен а. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. а в = IаI IвI соs а или соs а = а в / IаI IвI (х 1 х 2 + у 1 у 2 + z 1 z 2 ) х 1 2 +у z 1 2 х у z 2 2 Для вычисления углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью во многих случаях удобно использовать скалярное произведение векторов. cоs a =

Соs a= С2(53) АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 –правильный параллепипед. АВ=4, АА 1 =6 Найдите угол между DВ 1 и плоскостью АВС Решение: Введем систему координат с началом А тогда D(4;0;0), В(0;4;0), В 1 (0;4;6) и DВ 1 {-4;4:6} DВ{-4;4;0} Решение геометрическим способом можно провести для самопроверки. Рассмотрим ВВ 1 D - прямоугольный. ВD - диагональ квадрата со стороной 4, DВ 1 -диагональ параллелепипеда с измерениями 4,4,6, следовательно соs а равен DВ = 42 разделить на DВ 1 = 68 или 8 разделить на 17. Выбор способа решения остается за учащимся. Примеры решения задач ЕГЭ = =

С2 Дан АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 –прямоугольный параллелепипед АА 1 =3, АD=8, АВ=6, точка Е- середина ребра АВ, точка F-середина ребраВ 1 С 1. Найдите угол между прямой ЕF и плоскостью АDD 1. Решение: ( векторно-координатный способ ) Введем прямоугольную систему координат С началом в точке А, тогда угол между векторами АN {0;4;3} и АF 1 {3;4;3} // ЕF и будет искомым Косинус угла найден с помощью формулы скалярного произведения двух векторов. Преимущество метода в этом случае очевидно. Примеры решения задач ЕГЭ = Соs a =

Примеры решения задач ЕГЭ Дана правильная треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1, в которой АА 1 =2АВ. Найдите угол между АС 1 и А 1 В. Решение Пусть АВ = х, тогда АА 1 =2х. Введем прям. с-му коор-т с началом в С. А( ; ; 0), В(0; х; 0), А 1 ( ; ; х2), С 1 (0; 0; х2). Выразим координаты векторов АС 1 и ВА 1 АС 1 {- ;- ;х2),} BA 1 { ;- ; х2} Угол между векторами и будет углом между прямыми. Его соs равен I-0,75Х 2 +0,25Х 2 +2Х 2 I -0,75Х 2 +0,25Х 2 +2Х 2-0,75Х 2 +0,25Х 2 +2Х 2 соs равен, откуда угол равен 60 0

Геометрия. Учебник для общеобразовательных учреждений; Москва; «Просвещение», 2007год Методические рекомендации к учебнику; Москва, «Просвещение» «Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии», Шестаков С.А.; Москва, МЦНМО,2008 год «Теоретические и практические вопросы подготовки к ЕГЭ по математике»; НИРО, 2009 год ЕГЭ; «Интенсивная подготовка»; 2011 год,, тематические тренировочные задания Сборник задач по математике. «Геометрия», под редакцией М.И. Сканави Интернет-ресурсы: Законы, указы, которые касаются вопросов образования Нижегородский институт развития образования Сеть творческих учителей Открытый класс. Материалы для подготовки к ЕГЭ. Открытый банк заданий по математике Архив презентаций по всем предметам Список используемой литературы: