Элементы векторной алгебры Кафедра высшей математики ТПУ Лектор: доцент Тарбокова Татьяна В асильевна

§ 6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектором называется направленный отрезок (т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец).

Расстояние от начала вектора до его конца называется длиной (или модулем) вектора. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными (параллельными).

Все нулевые векторы считаются равными Три вектора, лежащие в одной или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

2. Линейные операции на множестве векторов 1) Умножение на число; 2) Сложение векторов

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ НАД ВЕКТОРАМИ

3. Понятия линейной зависимости и независимости. Базис ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что векторы ā 1, ā 2, …, ā k линейно зависимы, если существуют числа 1, 2, …, k, не все равные нулю и такие, что линейная комбинация 1 · ā · ā 2 + …+ k · ā k равна нулевому вектору ō Если равенство 1 · ā · ā 2 + …+ k · ā k = ō возможно только при условии 1 = 2 = …= k =0, то векторы ā 1, ā 2, …, ā k называют линейно независимыми. ЛЕММА 2. Векторы ā 1, ā 2, …, ā k линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся. Замечание. Часто в качестве определения линейно зависимых векторов берут формулировку леммы 2.

Пусть V (3) (V (2) ) – множество свободных векторов пространства (плоскости). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Максимальное линейно независимое множество векторов в V (3) (V (2) ) называется базисом этого множества. Иначе говоря, векторы ā 1, ā 2, …, ā n V (3) (V (2) ) образуют базис в этом множестве если выполняются два условия: 1) ā 1, ā 2, …, ā n – линейно независимы; 2) ā 1, ā 2, …, ā n, ā – линейно зависимы для любого вектора ā из V (3) (V (2) ). ТЕОРЕМА 3. Любые два базиса множества V (3) (V (2) ) состоят из одного и того же числа векторов. ЛЕММА 4 (о базисе V (3) и V (2) ). 1) Базисом множества V (2) являются любые два неколлинеарных вектора. 2) Базисом множества V (3) являются любые три некомпланарных вектора.

СЛЕДСТВИЕ (критерий линейной зависимости 2-х и 3-х ненулевых векторов). 1) Два ненулевых вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. 2) Три ненулевых вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны ТЕОРЕМА 5 (о базисе). Каждый вектор множества V (3) (V (2) ) линейно выражается через любой его базис, причем единственным образом.

4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ координат свободных векторов в декартовом прямоугольном базисе: ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямую, на которой выбрано направление, называют осью.

ТЕОРЕМА 6. Координаты вектора ā V (2) (V (3) ) в декартовом прямоугольном базисе i, j (i, j, k) есть проекции этого вектора на соответствующие координатные оси.

§7. Простейшие задачи векторной алгебры Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова прямоугольная система координат. Выберем во множестве V (3) (V (2) ) декартов прямоугольный базис i, j, k (i, j).

ЗАДАЧА 2. Найти длину вектора, если известны его координаты в декартовом прямоугольном базисе. ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты его орта.

Геометрический смысл координат орта вектора Это равенство называют основным тождеством для направляющих косинусов вектора.

ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении. Если λ > 0, то точка M 0 лежит между точками M 1 и M 2. В этом случае говорят, что точка M 0 делит отрезок M 1 M 2 во внутреннем отношении. Если λ < 0, то точка M 0 лежит на продолжении отрезка M 1 M 2. В этом случае говорят, что точка M 0 делит отрезок M 1 M 2 во внешнем отношении.

§8. Нелинейные операции на множестве векторов СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1) Скалярное произведение векторов коммутативно, т.е. 1. Скалярное произведение векторов 2. Векторное произведение векторов 3. Смешанное произведение векторов 1. Скалярное произведение векторов

3) Числовой множитель любого из двух векторов можно вынести за знак скалярного произведения. Т.е. 4) Если один из векторов записан в виде суммы, то их скалярное произведение тоже можно записать в виде суммы. Т.е.

5) Скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат вектора) равно квадрату его длины. Т.е. Формулу (1) называют выражением скалярного произведения через декартовы координаты векторов.

2. Векторное произведение векторов

СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

3. Смешанное произведение векторов СВОЙСТВА СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ