3. Понятие линейной зависимости и независимости. Базис Пусть L – линейное пространство над F, a 1,a 2, …, a k L. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что векторы a 1,a. - презентация

1 3. Понятие линейной зависимости и независимости. Базис Пусть L – линейное пространство над F, a 1,a 2, …, a k L. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что векторы a 1,a 2, …, a k линейно зависимы, если существуют числа 1, 2, …, k, не все равные нулю и такие, что линейная комбинация 1 · a · a 2 + …+ k · a k равна нулевому элементу o линейного пространства L. Если равенство 1 · a · a 2 + …+ k · a k = o возможно только при условии 1 = 2 = …= k =0, то векторы a 1,a 2, …, a k называют линейно независимыми. ЛЕММА 4 (Критерий линейной зависимости векторов). Векторы a 1,a 2, …, a k линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся. Замечание. Часто в качестве определения линейно зависимых векторов берут формулировку леммы 4.

2 ТЕОРЕМА 5 (о базисном миноре матрицы). Если r(A)=r, то 1) В матрице A ровно r линейно независимых строк (столбцов), причем это те строки (столбцы), элементы которых входят в базисный минор («базисные» строки (столбцы)). 2) Любая строка (столбец) матрицы выражается через ее базисные строки (столбцы). ТЕОРЕМА 6 (критерий равенства нулю определителя). Определитель равен нулю хотя бы одна строка (столбец) является линейной комбинацией нескольких других строк (столбцов). Другая формулировка теоремы 6: Определитель равен нулю строки (столбцы) определителя линейно зависимы. ТЕОРЕМА (Кронекера – Капелли). Система линейных уравнений совместна ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. r(A) = r(A*).

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом этого линейного пространства. Иначе говоря, векторы e 1,e 2, …, e n L образуют базис в линейном пространстве L если выполняются два условия: 1) e 1,e 2, …, e n – линейно независимы; 2) e 1,e 2, …, e n,a – линейно зависимы для любого вектора a L. ТЕОРЕМА 7. Любые два базиса линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов. Если в линейном пространстве L существует базис из n векторов, то пространство называют конечномерным, а n называют размерностью линейного пространства (пишут: dimL = n). Если в линейном пространстве L для любого натурального n можно найти линейно независимую систему векторов, то пространство называют бесконечномерным (пишут: dimL= ). ТЕОРЕМА 8 (о базисе). Каждый вектор линейного пространства линейно выражается через любой его базис, причем единственным образом.