§10. Евклидовы линейные пространства ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть E – линейное пространство над. Отображение f:(x,y), которое каждой паре элементов x,y E ставит. - презентация

1 §10. Евклидовы линейные пространства ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть E – линейное пространство над. Отображение f:(x,y), которое каждой паре элементов x,y E ставит в соответствие единственный и однозначно определенный элемент r, называется скалярным произведением, если выполняются следующие условия: 1) f(x,y) = f(y,x) ; 2) f(x 1 +x 2,y) = f(x 1,y) + f(x 2,y) ; 3) f(λx,y) = λf(x,y), λ ; 4) f(x,x) > 0, x o ; f(x,x) = 0 x = o. Обозначают: (x,y) УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что (o,x) = 0, x E. Линейное пространство E, на котором определено скалярное произведение векторов, называется евклидовым линейным пространством. ТЕОРЕМА 2. Любое конечномерное линейное пространство над может быть превращено в евклидово пространство.

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Назовем длиной вектора x E число Обозначают: |x|. ЛЕММА 3 (неравенство Коши – Буняковского). Для любых x,y E справедливо неравенство (x,y) |x| · |y|. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между векторами x,y E (x o, y o) назовем число φ [0;π], удовлетворяющее условию ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы x,y E (x o, y o) называются ортогональными, если (x,y) = 0. Система векторов x 1,x 2, …, x n E называется ортогональной, если все векторы этой системы попарно ортогональны, т.е. если (x i,x k ) = 0, i k.

3 Ортогональная система векторов x 1,x 2, …, x n E называется ортонормированной, если длины всех векторов этой системы равны 1, т.е. если (x i,x k ) = 0, i k и (x i,x i ) = 1, i. ЛЕММА 4. Ортогональная система векторов линейно независима. ТЕОРЕМА 5. В любом конечномерном евклидовом пространстве существуют ортогональные (ортонормированные) базисы. ТЕОРЕМА 6. Базис e 1, e 2, …, e n евклидова пространства E (n) является ортонормированным где x = α 1 e 1 + α 2 e 2 +… + α n e n = {α 1, α 2, …, α n }, y = β 1 e 1 + β 2 e 2 +… + β n e n = {β 1, β 2, …, β n }.