Дифференциальные уравнения 2-го порядка Лекция 5

Основные понятия Уравнение 2-го порядка имеет вид Или Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция, которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.

Задача Коши для уравнения 2- го порядка Если уравнение 2-го порядка разрешить относительно второй производной, то для такого уравнения имеет место задача: найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: и Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения 2-гопорядка.

Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам и непрерывны в некоторой области, содержащей точку, то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям и.

Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2-го порядка решают двукратным интегрированием. Уравнение, не содержащее явно у, решают с помощью подстановки, Уравнение, не содержащее х, решают заменой,.

Пример Проинтегрируем Имеем И

Пример Уравнение не содержит явно х, поэтому решаем его подстановкой При х=0 Ответ

Линейные однородные уравнения Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение. Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами.

Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 1. Если у(х) является решением уравнения, то и Су(х), где С-константа, также является решением этого уравнения.

Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 2. Если и - решения уравнения, то и их сумма также является решением этого уравнения. Следствие. Если и - решения уравнения, то функция -также решение этого уравнения.

Линейно зависимые и линейно независимые функции Две функции и называются линейно зависимыми на некотором промежутке, если можно подобрать такие числа и,не равные нулю одновременно, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на этом промежутке, т. е.

Линейно зависимые и линейно независимые функции Если таких чисел подобрать нельзя, то функции и называются линейно независимыми на указанном промежутке. Функции и будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, т. е.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка Если и -линейно независимые частные решения ЛОУ 2- го порядка, то их линейная комбинация, где и - произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами Уравнение называется характеристическим уравнением линейного уравнения. Оно получается из ЛОУ заменой соотстветствующей порядку производной степенью k.