Работа учителя математики Ташкирменской средней школы Лаишевского района РТ Шишковой Х. Д. 1

замена уравнения уравнением ; метод разложения на множители ; метод введения новой переменной (+ тригонометрическая подстановка ); метод интервалов при решении неравенств ; функционально - графический метод. 2

« искусственный » метод ; умножение уравнения или неравенства на функцию ; решение уравнений по внешнему виду ; применение производной при решении уравнений ; использование числовых неравенств ; метод рационализации ( метод декомпозиции, метод замены множителей, метод замены функции, правило знаков ). 3

4 Решать пример нестандартно, придумать «свой метод», догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т. д. в этом суть данного метода. Решить уравнение Решение: Обозначим Тогда перемножая данное уравнение и полученное равенство, получим А теперь сложим равенства Получим т.е. Отсюда Проверка: подставляем найденные значения неизвестного х в исходное уравнение Ответ: и

Решить уравнение Решение: Умножив обе части уравнения на функцию, получим уравнение, являющееся следствием исходного уравнения. Полученное уравнение можно решить методом разложение на множители Корни уравнения Проверка показывает, чтоявляется корнем исходного уравнения, а не являются его корнями. Ответ: Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней - корней многочлена, на который умножили уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получать равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем. 5

6 Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения. Решить уравнение (1)

Решение: Очевидно, что внешний вид уравнения подсказывает, что один из корней уравнения (1) есть Перепишем уравнение (1) в несколько ином виде. Поскольку справедливы тождественные равенства то уравнение (1) можно переписать так: (2) Теперь очевидно, что если корень уравнения (2), то также корень уравнения, по­скольку Итак, если ( ) – корень уравнения (1), то оно имеет еще корни, т.е. уравнение (1) имеет корни Поскольку уравнение (1) есть алгебраическое уравнение шестой степени, то оно имеет не более шести коней. Таким образом, мы нашли все корни исходного уравнения. Ответ: 7

8 С помощью производной можно решать вопросы существования корней уравнения, а в некоторых случаях и их отыскания. По-прежнему основную роль здесь будут играть исследования функции на монотонность, нахождение ее экстремальных значений. Кроме того, будет использован ряд свойств монотонных и непрерывных функций. Свойство 1. Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнение имеет не более одного корня. Свойство 2. Если функция определена и непрерывна на промежутке и на его концах принимает значения разных знаков, то между и найдется точка, в которой.

Решить уравнение (1) Решение: Рассмотрим функцию Область существования этой функции есть промежуток Функция положительную производную Следовательно, функция возрастает на промежутке, и так как она непрерывна на этом промежутке, то каждое свое значение она принимает ровно в одной точке. А это означает, что уравнение (1) имеет не более одного корня. Легко видеть, что число удовлетворяет уравнению (1). Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень Ответ: -1. имеет внутри промежутка 9

10 Иногда применение того или иного числового неравенства к одной из частей уравнения (неравенства) позволяет заменить его равносильной ему системой уравнений. Часто применяется неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим: (причем равенство здесь возможно лишь при ), и его следствие: где (причем тогда и, только тогда, когда, ). Решить уравнение (1) Решение: Обе части уравнения определены для всех. Для любого, применяя неравенство, получаем, что справедливо неравенство (2) Для любого справедливо неравенство (3) Из справедливости неравенств (2) и (3) следует, что уравнение (1) превращается в верное равенство лишь для тех, для которых обе части уравнения (1) равны 2, т. е. для, удовлетворяющих системе уравнений (4) Легко видеть, что любое решение системы (4) будет решением уравнения (1). Следовательно, уравнение (1) равносильно системе уравнений (4). Решим ее. Первое уравнение системы (4) имеет единственное решение, которое удовлетворяет и второму уравнению этой же системы. Поэтому система (4), а значит, и равносильное ей уравнение (1) имеют единственное решение. Ответ: 0.

Метод рационализации ( метод декомпозиции, метод замены множителей, метод замены функции, правило знаков ) 11

Выражение F(х)Выражение G(х) 1 1а 1б 2 2а 2б 3 4 4а

где Представим данное неравенство в виде: Следовательно, исходное неравенство в своей ОДЗ равносильно неравенству 13

ОДЗ : Далее применим метод рационализации: С учетом ОДЗ : Ответ: 14

15

16