Системы счисления

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления.

Запись произвольного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена x = a n P n + a n-1 P n a 1 P 1 + a 0 P 0 + a -1 P a -m P -m

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм: 1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению; 2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную: а) ; б) 380, ; в) 115,94 10 (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении). Ответ: а) = ; б) 380, = , ; в) 115,94 10 = ,

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 2 3 ).

P P ABCDEF

Таблица сложения в двоичной системе счисления

Таблица сложения в восьмеричной системе счисления

Таблица сложения в шестнадцатеричной системе счисления ABCDEF ABCDEF ABCDEF ABCDEF ABCDEF ABCDEF ABCDEF ABCDEF ABCDEF ABCDEF ABCDEF AABCDEF BBCDEF A CCDEF A1B DDEF A1B1C EEF A1B1C1D F F A 1B 1C 1D 1E

Таблица умножения в двоичной системе счисления х

Таблица умножения в восьмеричной системе счисления х

Таблица умножения в шестнадцатеричной системе счисления х ABCDEF ABCDEF ACE A1C1E 30369CF B1E A2D 4048C C C C 505AF14191E23282D32373C41464B 606C12181E242A30363C42484E545A 707E151C232A31383F464D545B B242D363F48515A636C757E87 A0A141E28323C46505A646E78828C96 B0B16212C37424D58636E79848F9AA5 C0C C C CA8B4 D0D1A E5B F9CA9B6C3 E0E1C2A E8C9AA8B6C4D2 F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A A5 B4 C3 D2 E1

Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойства системы счисления. Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной? Чему равны веса разрядов слева от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)? Чему равны веса разрядов справа от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)? Зашифруйте следующие десятичные числа, преобразовав их в двоичные (восьмеричные, шестнадцатеричные): 0, 1, 18, 25, 128. Дешифруйте следующие двоичные числа, преобразовав их в десятичные: 0010, 1011, 11101, 0111, Дешифруйте следующие восьмеричные числа, преобразовав их в десятичные: 777, 375, 111, Дешифруйте следующие шестнадцатеричные числа, преобразовав их в десятичные: 15, A6, 1F5, 63. Контрольные вопросы и задания

Выполните задания 1. Сложить числа: а) = б) 223, ,54 8 = в) 3B3, B,4 16 = 2. Выполнить вычитание: а) , ,1 2 = б) 1510, ,54 8 = в) 27D,D ,2 16 =

Проверь себя 1. Сложить числа: а) = б) 223, ,54 8 = 652,74 8. в) 3B3, B,4 16 = 73E,A Выполнить вычитание: а) , ,1 2 = , б) 1510, ,54 8 = 257,44 8. в) 27D,D ,2 16 = EC,B8 16.

Дополнительное задание Выполнить умножение: а) х = б) 1170,64 8 х 46,3 8 = в) 61,A 16 х 40,D 16 =

Проверь себя Выполнить умножение: а) х = б) 1170,64 8 х 46,3 8 = 57334, в) 61,A 16 х 40,D 16 = 18B7,52 16.