1 Ильин Владимир Леонидович Построение графиков функций элементарными средствами

Y X o 2 Представим себе, что нам известен график некоторой функции f(x), который мы договоримся называть «старым» и будем обозначать Г f. Представим себе, что нам известен график некоторой функции f(x), который мы договоримся называть «старым» и будем обозначать Г f. Поставим задачу построения графика другой функции g(x), определённым образом связанной со «старой» функцией, используя «старый» график в качестве исходного. Искомый график назовём «новым» и будем обозначать Г g. Поставим задачу построения графика другой функции g(x), определённым образом связанной со «старой» функцией, используя «старый» график в качестве исходного. Искомый график назовём «новым» и будем обозначать Г g.

Y X o 3 Введение Мы с вами научимся строить графики различных элементарных функций без применения производной. Такие методы построения графиков мы и будем называть элементарными. Мы с вами научимся строить графики различных элементарных функций без применения производной. Такие методы построения графиков мы и будем называть элементарными.

Y X o 4 Укажем правила построения Г g из Г f Укажем правила построения Г g из Г f в зависимости от того, каким образом связаны f(x) и g(x). в зависимости от того, каким образом связаны f(x) и g(x).

Y X o 5 g(x) = f(x) + a Г g получается из Г f параллельным переносом на «a» единиц вдоль оси Г g получается из Г f параллельным переносом на «a» единиц вдоль оси (OY) (OY) Попробуй сам! Попробуй сам! a = 2 a = - 3 a = 2 a = - 3

Y X o 6 g(x) = f(x + a) Г g получается из Г f параллельным переносом на «-a» единиц вдоль оси Г g получается из Г f параллельным переносом на «-a» единиц вдоль оси (ОХ) (ОХ) Попробуй сам! Попробуй сам! a = 3 a = - 2 a = 3 a = - 2

Y X o 7 g(x) = f(x) g(x) = - f(x) Г g получается из Г f симметрией относительно оси (ОХ) Г g получается из Г f симметрией относительно оси (ОХ) Попробуй сам! Попробуй сам! выполни выполни

Y X o 8 g(x) = f(-x) Г g получается из Г f симметрией относительно оси (OY) Г g получается из Г f симметрией относительно оси (OY) Попробуй сам! Попробуй сам! выполни выполни

Y X o 9 Г g получается из Г f так: Часть Г f, лежавшая в верхней полуплоскости, остаётся без изменений, а часть Г f, лежавшая в нижней полуплоскости, отражается симметрично относительно оси (ОХ) Попробуй сам! Попробуй сам! выполни выполни g(x) = | f(x) |

Y X o 10 Г g получается из Г f так: Часть Г f, лежавшая в левой полуплоскости, бесследно исчезает, а часть Г f, лежавшая в правой полуплоскости, остаётся без изменений и она же отражается симметрично относительно оси (ОY) Попробуй сам! Попробуй сам! выполни выполни g(x) = f(|x|)

Y X o 11 Искомое множество точек получается из Г f так: часть Г f, лежавшая в нижней полуплоскости, бесследно исчезает, а часть Г f, лежавшая в верхней полуплоскости, остаётся без изменений и она же отражается симметрично относительно оси (ОY) без изменений и она же отражается симметрично относительно оси (ОY) Попробуй сам! Попробуй сам! выполни выполни | У | = f(x)

Y X o 12 g(x) = a f(x), где a > 0 Г g получается из Г f растяжением в «a» раз при a >1 и сжатием в «1/a» раз при a 1 и сжатием в «1/a» раз при a < 1 вдоль оси (OY). Точки оси (ОХ) неподвижны !!! Попробуй сам! Попробуй сам! a = 2 a = 1/2 a = 2 a = 1/2

Y X o 13 g(x) = f( a x), где a > 0 Г g получается из Г f сжатием в «a» раз при a >1 и растяжением в «1/a» раз при a 1 и растяжением в «1/a» раз при a < 1 вдоль оси (OХ). Точки оси (OY) неподвижны !!! Попробуй сам! Попробуй сам! a = 2 a = 1/2 a = 2 a = 1/2

Y X o 14 Счастливо упражняться !!! Определите термины, используемые в данной области

Y X o 15 g(x) = f(x) + a Г g получается из Г f параллельным переносом на «a» единиц вдоль оси Г g получается из Г f параллельным переносом на «a» единиц вдоль оси (OY) (OY) Попробуй сам! Попробуй сам! a = 2 a = - 3 a = 2 a = - 3 Назад: Назад:

Y X o 16 g(x) = f(x) + a Г g получается из Г f параллельным переносом на «a» единиц вдоль оси Г g получается из Г f параллельным переносом на «a» единиц вдоль оси (OY) (OY) Попробуй сам! Попробуй сам! a = 2 a = - 3 a = 2 a = - 3 Назад: Назад:

Y X o 17 g(x) = f(x + a) Г g получается из Г f параллельным переносом на «-a» единиц вдоль оси Г g получается из Г f параллельным переносом на «-a» единиц вдоль оси (ОХ) (ОХ) Попробуй сам! Попробуй сам! a = 3 a = - 2 a = 3 a = - 2 Назад: Назад:

Y X o 18 g(x) = f(x + a) Г g получается из Г f параллельным переносом на «-a» единиц вдоль оси Г g получается из Г f параллельным переносом на «-a» единиц вдоль оси (ОХ) (ОХ) Попробуй сам! Попробуй сам! a = 3 a = - 2 a = 3 a = - 2 Назад: Назад:

Y X o 19 g(x) = f(x) g(x) = - f(x) Г g получается из Г f симметрией относительно оси (ОХ) Г g получается из Г f симметрией относительно оси (ОХ) Попробуй сам! Попробуй сам! выполни выполни Вернись назад: Вернись назад:

Y X o 20 g(x) = f(-x) Г g получается из Г f симметрией относительно оси (OY) Г g получается из Г f симметрией относительно оси (OY) Попробуй сам! Попробуй сам! выполни выполни Вернись назад: Вернись назад:

Y X o 21 Г g получается из Г f так: Часть Г f, лежавшая в верхней полуплоскости, остаётся без изменений, а часть Г f, лежавшая в нижней полуплоскости, отражается симметрично относительно оси (ОХ) Попробуй сам! Попробуй сам! выполни выполни Вернись назад: Вернись назад: g(x) = | f(x) |

Y X o 22 Г g получается из Г f так: Часть Г f, лежавшая в левой полуплоскости, бесследно исчезает, а часть Г f, лежавшая в правой полуплоскости, остаётся без изменений и она же отражается симметрично относительно оси (ОY) Попробуй сам! Попробуй сам! выполни выполни Вернись назад: Вернись назад: g(x) = f(|x|)

Y X o 23 Искомое множество точек получается из Г f так: часть Г f, лежавшая в нижней полуплоскости, бесследно исчезает, а часть Г f, лежавшая в верхней полуплоскости, остаётся без изменений и она же отражается симметрично относительно оси (ОY) без изменений и она же отражается симметрично относительно оси (ОY) Попробуй сам! Попробуй сам! выполни выполни Вернись назад: Вернись назад: | У | = f(x)

Y X o 24 g(x) = a f(x), где a > 0 Г g получается из Г f растяжением в «a» раз при a >1 и сжатием в «1/a» раз при a 1 и сжатием в «1/a» раз при a < 1 вдоль оси (OY). Точки оси (ОХ) неподвижны !!! Попробуй сам! Попробуй сам! a = 2 a = 1/2 a = 2 a = 1/2 Назад : Назад :

Y X o 25 g(x) = a f(x), где a > 0 Г g получается из Г f растяжением в «a» раз при a >1 и сжатием в «1/a» раз при a 1 и сжатием в «1/a» раз при a < 1 вдоль оси (OY). Точки оси (ОХ) неподвижны !!! Попробуй сам! Попробуй сам! a = 2 a = 1/2 a = 2 a = 1/2 Назад: Назад:

Y X o 26 g(x) = f( a x), где a > 0 Г g получается из Г f сжатием в «a» раз при a >1 и растяжением в «1/a» раз при a 1 и растяжением в «1/a» раз при a < 1 вдоль оси (OХ). Точки оси (OY) неподвижны !!! Попробуй сам! Попробуй сам! a = 2 a = 1/2 a = 2 a = 1/2 Назад : Назад :

Y X o 27 g(x) = f( a x), где a > 0 Г g получается из Г f сжатием в «a» раз при a >1 и растяжением в «1/a» раз при a 1 и растяжением в «1/a» раз при a < 1 вдоль оси (OХ). Точки оси (OY) неподвижны !!! Попробуй сам! Попробуй сам! a = 2 a = 1/2 a = 2 a = 1/2 Назад: Назад: