Векторы

Скалярное произведение векторов. Под углом между векторами понимают угол между их направлениями. (0φπ) φ

φ φ

Скалярное произведение двух векторов- это число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение:

Формулеможно придать другой вид: φ так как и

Для φ В частности:

Пример 1. Дан равносторонний треугольник АВС со стороной 6. Найти скалярное произведение векторов: 1) и2) и Решение. φ АС В А В С φ

Свойства скалярного произведения. коммутативность Доказательство:

дистрибутивность Доказательство:

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля) Доказательство: В частности :

Пример 2. Векторы иобразуют угол Зная найти Решение. Так как, то

Ответ.

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами. или Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.

Доказательство:

Пример 3.При каком m векторы и перпендикулярны? Решение. Имеем Ответ. Векторы перпендикулярны при m=1.

Пример 4.Вычислить работу, произведенную силой если её точка приложения перемещается прямолинейно из положения В(2; 4; 6) в положение С(4; 2; 7). Под каким углом к ВС направлена сила ? Решение. В С φ Работа силы при перемещении равна т.е. Т.о. работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Находим: Найдем угол φ: