Системы линейных уравнений.

Системой m линейных уравнений с n неизвестными х 1, х 2, …, х n называется система вида a ij - коэффициенты системы, i=1,…,m; j=1,…,n b i - свободные члены. (*)

Решением системы (*) называется такой набор чисел (с 1, с 2,…, с n ), что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных (с 1 вместо х 1, …, с n вместо х n ) каждое из уравнений системы обращается в тождество. Если система (*) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной; система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Система называется определенной, если она имеет единственное решение; и неопределенной, если она имеет более одного решения. В случае неопределённой системы каждое её решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Если b 1 =b 2 =…=b m =0, то система называется однородной; в противном случае она называется неоднородной. Две системы называются эквивалентными или равносильными, если любое решение одной из них является также решением другой, т.е. если они имеют одно и то же множество решений. (любые две несовместные системы считаются эквивалентными)

Элементарными преобразованиями линейной системы называются следующие преобразования: - перестановка уравнений системы; - умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число, отличное от нуля; - сложение и вычитание уравнений; - исключение из системы тех уравнений, в которых все коэффициенты и свободные члены равны нулю.

Систему (*) можно записать в матричной форме: АХ=В, где матрица коэффициентов системы; матрица-столбец (вектор-столбец) неизвестных матрица-столбец (вектор-столбец) свободных членов

1. Решение систем линейных уравнений при помощи обратной матрицы. матрица-столбец (вектор-столбец) неизвестных матрица-столбец (вектор-столбец) свободных членов основная матрица системы

Пусть detA 0, тогда А -1

Решить систему линейных уравнений при помощи обратной матрицы: А В

Ответ: (-2; 1; 2) то есть:

2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. Система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Дана система n линейных уравнений с n неизвестными х 1, х 2, …, х n:

Систему можно записать в матричной форме: АХ=В, где матрица коэффициентов системы; матрица-столбец (вектор-столбец) неизвестных матрица-столбец (вектор-столбец) свободных членов

пусть

разложение det по элементам 1-го столбца Итак: столбец свободных членов

разложение det по элементам 2-го столбца Итак: столбец свободных членов

разложение det по элементам n-го столбца Итак: столбец свободных членов То есть:

Формулы Крамера где Δ =detA 0, Δ х k - определитель, получающийся из detA заменой к-го столбца на столбец свободных членов.

Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

Ответ: (-2; 1; 2)