ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-9. 12. Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами - постоянные.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-8. Линейным ДУ (любого порядка) называется такое уравнение, в которое искомая функция у и её производные входят в первых степенях,
Advertisements

{ алгоритм решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами - действительные корни характеристического уравнения.
Обыкновенные дифференциальные уравненияОбыкновенные дифференциальные уравнения.
Уроки 8-9 Дифференциальные уравнения второго порядка.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Определение: Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше второго порядка,
Дифференциальные уравнения Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами Лекция 6.
Лектор Пахомова Е.Г г. Дифференциальные уравнения Тема: Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка (однородные с постоянными коэффициентами,
Дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод вариации произвольных постоянных Линейные неоднородные.
Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальные уравнения 2-го порядка Лекция 5.
Выполнил : Студент группы К -11 Лысяк Василий. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Однородные дифференциальные.
Дифференциальные уравнения Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
Дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка.
Дифференциальные уравнения (продолжение) План лекции I. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (примеры) II. Линейные однородные уравнения.
{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан.
Основные понятия. Общие определения.. Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n - это уравнение вида n – порядок наивысшей производной, входящей.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-6. Дифференциальные уравнения высших порядков.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Однородные ДУ I порядка.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные от искомой функции или её дифференциалы. или.
Транксрипт:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-9

12. Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами - постоянные

Если имеет место равенство где- постоянные, не все равные нулю, то говорят, что выражается линейно через функции

n функций называются линейно независимыми, если никакая из этих функций линейно не выражается через остальные.

Замечание Если функции линейно зависимы, то найдутся постоянные С 1, С 2,…,С n не все равные нулю, такие, что будет выполняться тождество

Пример 1. Например, функции линейно зависимые, так как при имеет место тождество:

Пример 2. Например, функции линейно независимые, так как ни при каких одновременно не равных нулю, выражение не равно нулю:

Пример 3. Например, функции линейно независимые, так как ни при каких одновременно не равных нулю, выражение не равно нулю:

Теорема Если функции у 1, у 2,…, у n являются линейно независимыми решениями уравнения то его общее решение есть где С 1, С 2,…, С n - произвольные постоянные.

Нахождение общего решения ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. 1.Составляем соответствующее характеристическое уравнение: 2.Находим корнихарактеристического уравнения:k 1, k 2, …, k n

3.По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения: а) каждому действительному однократному корню k соответствует частное решение b) каждой паре комплексных сопряженных однократных корней соответствует два частных решения и

с) каждому действительному корню кратности r соответствует r линейно независимых частных решений d) каждой паре комплексных сопряженных корней кратности r соответствуют 2r частных решений: Этих частных решений будет ровно столько, какова степень характеристического уравнения (т.е. столько, каков порядок данного линейного ДУ)

4.Найдя n линейно независимых частных решений у 1, у 2, …, у n, строим общее решение данного линейного уравнения: где С 1, С 2, …, С n – произвольные постоянные.

Пример 1. Решить ДУ: Решение. Характеристическое уравнение: Ответ. Общее решение:

Пример 2. Решить ДУ: Решение. Характеристическое уравнение: Ответ.

Пример 3. Решить ДУ: Решение. Характеристическое уравнение: Ответ. Общее решение