Определение рациональной функции Простейшие рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Пример Разбиение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей Пример Алгоритм интегрирования рациональных функций Пример

Рациональной функцией R(x) называется функция, равная отношению двух многочленов: где m, n – целые положительные числа; a i и b i – действительные числа. Если m n или m = n, то R(x) – называется неправильной дробью. Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы некоторого многочлена (целая рациональная функция) и правильной дроби. Для этого используется правило деления многочленов.

Простейшие рациональные дроби делятся на четыре типа: Первый типВторой тип a - есть действительный корень кратности : (x - a ) m = 0, m = 2, …, Третий типЧетвертый тип нет действительный корней: (x 2 + px + q) n = 0, n = 2,..., В этом примере: одна дробь первого типа, две – второго.

Первый тип Второй тип Третий тип

Четвертый тип Первый интеграл – табличный Второй интеграл берут понижая степень Этот прием будет показан при решении примера.

@ U dV

Находятся все корни многочлена, стоящего в знаменателе дроби Q m (x)/P n (x) : P n (x = 0) Дробь Q m (x) / P n (x) представляется в виде суммы дробей первого, второго, третьего и четвертого типов, с учетом кратности действительных и комплексных корней. Дроби складываются. Собранные в группы комбинации коэффициентов у степеней x в числителе приравниваются соответствующим коэффициентам у степеней x многочлена Q m (x). Решается полученная система уравнений для неизвестных коэффициентов. Исходная рациональная дробь представляется как сумма простейших дробей.

@ Разложить дробь на простейшие дроби Простой кореньПара мнимых корней

Разложить подынтегральную функцию – выделить целую рациональную функцию и правильную рациональную дробь Проинтегрировать сумму простейших дробей по известным алгоритмам Разложить правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей Проинтегрировать целую рациональную функцию

@