Определение тригонометрии Тригонометрия – математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника.

История тригонометрии Тригонометрия возникла из практических нужд человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и, вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт.

История тригонометрии Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.

Птолемей

0 B C Если мы понимаем под синусом угла α в прямоугольном треугольнике ОВС отношение катета ВС (линия синуса) к гипотенузе OC (т.е. радиусу единичной окружности), то в середине века термином «синус» обозначали саму линию синуса BC.

Окончательный вид тригонометрия приобрела в XVIII веке в трудах Л. Эйлера. Леонард Эйлер

Тригонометрическая окружность 0 x R=1 I II IIIIV A B C D + -

Градусы и радианы 0 x y +

Связь понятий радиана и радиуса простая: радиан - центральный угол окружности, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу той же окружности. Этот угол содержит примерно 57° 17' 44". Радиан (лат. radius).

Греческий астроном Птолемей Клавдий (II в. н.э.) узнав, что вавилонские астрономы делят окружность на 360 равных частей, назвал такую часть meros, что означает "часть", "доля". Арабы перевели это слово на свой язык словом "даражда", что означает "ступень". Мы пользуемся словом градус (gradus), как переводом "даражда" на латинский язык. Градус (лат. gradus) - ступень.

Градусы и радианы - 0 x y

Косинус и синус 0 x y cost sint t

Определение синуса Синусом угла α называется число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу α, и обозначается sin α. Таким образом, по определению sin α = b.

Синус имеет сложную и драматическую историю. В начале расцвета индийской математики (с V в. н.э.) индийцы синусом угла а называли полухорду MP хорды MN. По индийски полухорда называется "арха-джива", что буквально обозначает "полутетиву лука". С течением времени часть слова "арха" отпала и осталось слово "джива", что уже обозначает слово "джива" словом "джайб", что означает выпуклость, пазуху, карман. Действительно, пространство между хордой MN и дугой MLN похожа и на выпуклость, и пазуху, и карман. В XII в. европейцы перевели слово "джайб" на латинский язык словом sinus с тем же значением. Этот термин закрепился во всех странах в указанном неполном виде. В XVII в. английский математик Р.Норвуд обозначил sinus буквой s, а после него, тоже английский математик, Дж. Валлис ввел букву S (1684 г.). Знак sin x введен Эйлером в 1740 г. Термин "линия синусов" впервые был введен французским математиком О. Фабри в 1659 г. Первым графиком тригонометрических функций был график синусоиды, начерченный французским математиком Робервиллем (ок. середины XVII в.) в пределах одного оборота. Дж. Валлис выявил знаки синуса в каждом квадранте и вычертил график двух полных оборотов синусоиды, заметив, что график можно продолжить неограниченно (1670 г.). Эйлер стал впервые рассматривать синус не как линию, а как отношение катета противолежащего угла к гипотенузе. Синус (лат. sinus) - выпуклость, пазуха, карман. О M N L P

Функция y=sin x Областью определения функции является множество действительных чисел D(y)=R. Свойство следует из определения функции. Область значений E(y)=[-1;1], так как ордината точки M, являющаяся концом радиуса OM, может принимать значения на отрезке [-1;1]. Периодичность Функция является периодической с наименьшим положительным периодом 2π. Действительно, трем углам x, x+2π, x-2π на единичной окружности соответствует одна и та же точка M, следовательно, sin (x+2 π)=sin x, sin (x+2 π)=sin x, x є R, т.е. 2π - период функции y = sin x.

График функции y=sin x.

Четность и нечетность Функция y = sin x является нечетной. Пусть двум действительным числам α и -α соответствуют на единичной окружности точки М и N. Ординаты точек М и N равны по абсолютной величине, но отличаются знаками. Поэтому sin(- α)=sin(α). Следовательно, sin x - функция нечетная.

Знаки функции Непосредственно из определения функции следует, что она положительна в I и II четвертях, т.е. при x є (0;π) и отрицательна в III и IV четвертях, т.е. при x є (π;2 π).

0 x y + Синус.sin (-α) = -sin α

Точки экстремума Наибольшее значение, равное 1, достигается в точках x = π/2 + 2 πn, n є Z; наименьшее значение, равное -1, достигается в точках x = - π/2 + 2 πn, n є Z. Промежутки возрастания и убывания Функция y = sin x возрастает при x є [-π/2; π/2] и убывает при x є [π/2; 3π/2].

График функции y = sin x (синусоида)

Определение косинуса Косинусом угла α называется число, равное абциссе конца единичного радиуса, соответствующего углу α, и обозначается cos α. Таким образом, по определению cos α = a.

III. График функции у = cos x

Арабы назвали эту функцию "джиб тамам", что означает синус остатка до 90°, а в переводе на латинский язык (нач. XVII в.) -sinus complimenti - синус дополнения (до 90°) с символической записью sinus со, а затем со.-sinus и, наконец (1600 г., Э.Гёнтер) co-sinus. В 1748 г. Эйлер ввел символ cos x, который дошел до нашего времени. Косинус (лат. cosinus: со дополнение + sinus).

Знаки функции

0 x y + Косинус.cos α = cos (-α)

Точки экстремума Наибольшее значение, равное 1, достигается в точках x = 2 πk, k є Z; наименьшее значение, равное -1, достигается в точках x = π(2k+1), k є Z. Промежутки возрастания и убывания Функция y = cos x возрастает при x є [π+2 πn; 2π+2 πn] и убывает при x є [2πn; π+ 2πn].

График функции y = cos x (косинусоида)

Функция y=sin x Областью определения Так как sin x и cos x определены на R, то область. определения tg x является множество R за исключением точек x = π/2+ πn, n є Z, в которых cos x=0. Область значений E(f)=R, числа a и b принадлежат промежутку [-1;1]. Кроме того, выполняется равенство

Арксинус и его свойства Арксинусом числа a (|a|1) называется такой угол α, принадлежащий отрезку [-π/2; π/2], синус которого равен a. Обозначается этот угол arcsin a. Читается так: угол, синус которого равен a.

Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента Основное тригонометрическое тождество:

Косинус, синус суммы и разности двух аргументов Для любых двух углов α и β справедливы тождества:

Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов Для любого угла α справедливы тождества: