I.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. II.ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ III.ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ. IV.ПРИМЕРЫ

I.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПУСТЬ х – ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА х. ТОГДА х+ х – НОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ АРГУМЕНТА, А f(х) = f(х+ х) – f(x) - СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ f(х). f(х) СОСТАВИМ ОТНОШЕНИЕ Х. ПО АНАЛОГИИ С ДВИЖЕНИЕМ В ФИЗИКЕ ЭТО ОТНОШЕНИЕ МОЖНО НАЗВАТЬ СРЕДНЕЙ СКОРОСТЬЮ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ. Пусть Δ х O, ТОГДА ПРЕДЕЛ НАЗЫВАЕТСЯ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ f(x) В ТОЧКЕ Х. ДРУГИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ: Y,.

ЕСЛИ УКАЗАННЫЙ ПРЕДЕЛ СУЩЕСТВУЕТ, ТО ФУНКЦИЯ f(x) НАЗЫВАЕТСЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ В ДАННОЙ ТОЧКЕ х. ЕСЛИ ЖЕ ПРЕДЕЛ РАВЕН, ТО ГОВОРЯТ, ЧТО ФУНКИЯ f(x) ИМЕЕТ БЕСКОНЕЧНУЮ ПРОИЗВОДНУЮ. ДОКАЖЕМ, ЧТО Х=1. В ЭТОМ СЛУЧАЕ f(x) = X, f(x+ x) = x+ x. ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ f(x) = f(x+ x) – f(x) = X+ X - X = X СОСТАВИМ ОТНОШЕНИЕ F(x) X X X X = lim 1 = 1 X = 1, ЧТО И ТРЕБОВАЛОСЬ ДОКАЗАТЬ.

ГДЕ - УГОЛ НАКЛОНА КАСАТЕЛЬНОЙ М 0 N (ПРОВЕДЕННОЙ К КРИВОЙ f(x) В ТОЧКЕ Х ) К ПОЛОЖИТЕЛЬНОМУ НАПРАВЛЕНИЮ ОСИ Оx. Ч ТО ТАКОЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ? ЕСЛИ ПРИ ( М 1 М 0 ) СЕКУЩАЯ М 1 М 0 СТРЕМИТСЯ ЗАНЯТЬ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ М 0 N, ТО ЭТА ПРЯМАЯ М 0 N НАЗЫВАЕТСЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К КРИВОЙ f(x) В ТОЧКЕ М 0 (ПРИ ЗАДАННОМ Х ). ПУСТЬ ТЕЛО ДВИЖЕТСЯ ПРЯМОЛИНЕЙНО, И ЗАКОН ЕГО ДВИЖЕНИЯ ПО ВРЕМЕНИ ЗАДАН УРАВНЕНИЕМ S=S(t), ГДЕ S - РАССТОЯНИЕ, ПРОЙДЕННОЕ К МОМЕНТУ ВРЕМЕНИ t. ТОГДА ПРОИЗВОДНАЯ S(t) ЕСТЬ МНГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ В МОМЕНТ t, Т.Е.

ПУСТЬ U И V СУЩЕСТВУЮТ, Т.Е. ФУНКЦИИ U(x) И V(x) ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫ, ТОГДА 1.( U + V ) = U + V 2.( UV ) = U V + V U – ФОРМУЛА ЛЕЙБНИЦА 3. ( ) =, V 0 4.( CU ) = C U, C – const.

Пусть y = f(u), ГДЕ u = u (x), Т.Е. y = f(u(x)) – СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ, ПРИЧЕМ ФУНКЦИИ f(u) И u(x) ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫ. ТОГДА ПРОИЗВОДНАЯ y(x) МОЖЕТ БЫТЬ НАЙДЕНА ПО ФОРМУЛЕ: Y(x) = f u (u(x)). u(x). В ЧАСТНОСТИ, ЕСЛИ f(u) – ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ФУНКЦИЯ, ТО ПОЛУЧАЕМ ТАБЛИЦУ ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ: 1.С = 0, C – const. 2.(U n )= n. U n-1. U, n - const. 3. ( ) = -. U 4.( U) =. U 5.(sinU) = cosU. U 6.(cosU) = - sinU. U

7. (tgU) =. U 8. (ctgU) = -. U 9. ( arcsinU) =. U 10. (arccosU) = -. U 11. (arctgU) =. U 12. (arcctgU) = -. U 13. (а u ) = а u. lna. U, a>O, a1 14. (е u ) = е u. U 15. (log a U) =. U, a>O, a1 16. (lnU) =. U ЗАМЕЧАНИЕ: ЕСЛИ U = Х, ТО U= X=1,a ТАБЛИЦА I УПРОЩАЕТСЯ

1.C = 0, C – const. 2.(X n ) = nX n- 1, n – const. 3.( )= - 4.( X) = 5.(sinX) = cosX 6.(cosX) = - sinX

1.y = X 2 -5X + 4, y - ? y=(X 2 – 5X + 4)= (X 2 )– (5X)+ 4= 2X – 5. X + 0 = 2X- 5. 1= = 2X – y= 4 X + -, y = ? ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗУЕМ у К СУММЕ СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ, ВВОДЯ ДРОБНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ. y= X 1/4 + 5X -1/3 - X -3. ТЕПЕРЬ y= X -3/4 + 5(- )X -4/3 – - (-3)X -4 = y = X 5 (2- +3X 2 ), y - ? 1-Й СПОСОБ ( ФОРМУЛА ЛЕЙБНИЦА ). y = (X 5 ). (2- + 3X 2 )+(2- +3X 2 ). X 5 = = 5X 4 (2- + 3X 2 ) + (6X - ). X 5 = 10X X 6 +6X 6 - = = 10X 4 – 2X X 6

2-Й СПОСОБ. ВНАЧАЛЕ РАСКРОЕМ СКОБКИ. ). y = X 5 (2- +3X 2 ) = (2X X 7 ). ТЕПЕРЬ y = (2X X 7 ) = (2X 5 ) – ( ) + (3X 7 ) = = 10X 4 – 2X X f(x) =, f(x) - ? f (x) = ( ) = = = = = 5. y =, y = ? y= = = =

. 6. y = sin6X, y - ? y = (sin6X) = (sinU) = cosU. U = cos6X. (6X) = 6 cos6X 7. y = (1+5x) 3, y - ? y = ((1 + 5x) 3 ) = (U 3 ) = 3U 2. U = 3(1+5x) 2. (1+5x) = = 15. (1+5x) 2 8. (cos 2 X) = ((cosX) 2 ) = (U 2 ) = 2U. U = 2cosX. (cosX) = = - 2cosX. sinX = - sin2X 9. (e sinX 2 ) = (e U ) = e U. U = e sinX 2. (sinX 2 ) = e sinX 2. (sinU) = = e sinX 2. cosU. U = e sinX 2. cosX 2. (x 2 ) = 2X. e sinX 2. cosX 2.