ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ Лекция 6 13 октября 2009 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

2. Вычислительная линейная алгебра Идея метода сопряженных градиентов А-ортогональные (А-сопряженные) векторы А – положительная самосопряженная матрица

2. Вычислительная линейная алгебра Скалярное произведение Норма

2. Вычислительная линейная алгебра Упражнение – доказать Теорему Пифагора Если два вектора x y являются А- ортогональными, то

2. Вычислительная линейная алгебра Подпространство Крылова (линейная оболочка векторов) Если х не является собственным вектором А, то векторы – линейно независимы

2. Вычислительная линейная алгебра Доказательство – от противного. Перейдем в базис из собственных векторов матрицы А

2. Вычислительная линейная алгебра Тогда в силу ортогональности собственных векторов Полином степени i (меньше N) должен иметь N корней - противоречие

2. Вычислительная линейная алгебра Тогда в каждом подпространстве Крылова можно выбрать А- ортогональный базис.

2. Вычислительная линейная алгебра Эквивалентная формулировка задачи

2. Вычислительная линейная алгебра В силу теоремы Пифагора невязка на итерации будет минимальна в случае

2. Вычислительная линейная алгебра Разложение по А-ортогональному базису

2. Вычислительная линейная алгебра Тогда

2. Вычислительная линейная алгебра В силу А-ортогональности

2. Вычислительная линейная алгебра Строим следующий вектор базиса

2. Вычислительная линейная алгебра

Получили рекуррентные формулы метода сопряженных градиентов

2. Вычислительная линейная алгебра Задача поиска собственных значений А Самосопряженная Б Несамосопряженная 1. Полная (необходимо найти весь спектр) 2. Частичная (только некоторые значения)

2. Вычислительная линейная алгебра Самосопряженная задача Поиск максимального по абсолютной величине собственного числа

2. Вычислительная линейная алгебра Степенной метод

2. Вычислительная линейная алгебра Степнной метод Точность

2. Вычислительная линейная алгебра Поиск следующего по модулю собственного числа

2. Вычислительная линейная алгебра Поиск собственного числа, наиболее близкого к заданному значению – метод обратных итераций Минимальное собственное число

2. Вычислительная линейная алгебра Метод обратных итераций

2. Вычислительная линейная алгебра Собственное число, наиболее близкое к заданному Метод обратных итераций применяется к системе

2. Вычислительная линейная алгебра Полная самосопряженная задача – метод вращений

2. Вычислительная линейная алгебра Метод вращений

2. Вычислительная линейная алгебра Метод вращений

2. Вычислительная линейная алгебра Вопросы?