Некоторые способы решения логарифмических уравнений Подготовила учитель математики МОУ «СОШ 55»Константинова Е.Н.

1. Уравнения, решаемые по определению логарифма.

Приведем пример

2. Потенциирование. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их: если log a f(х) = log a g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0, а > 0, а 1.

log 2 (x+13) = 2 log 2 (x+1) Приведем пример Найдем ОДЗ x+13x+1 > 0 { (x+13) =2(x+1) Теперь решим уравнение Получим, что х>-1 Решаем квадратное уравнение, учитывая ОДЗ отбираем корни и получаем Ответ х=3. log 2

3. Уравнения, решаемые заменой переменной. Рассмотрим на примере log 3 2 x – log 3 x = 2 ОДЗ: x >0 Вводим новую переменную Получаем новое квадратное уравнение t 2 -t=2 Решаем его, проверяем получившиеся корни в ОДЗ и получаем Ответ:

4. Логарифмирование. Логарифмированием уравнения f(x) = g(x) называется процедура взятия логарифма по некоторому основанию от обеих частей уравнения Корнями полученного уравнения будут те и только те корни исходного уравнения, при которых обе его части положительны. Таким образом, при логарифмировании может произойти потеря корней.

Пример x lgx +5 = lgx ОДЗ: x > 0 Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, т.е. припишем к обеим частям уравнения десятичный логарифм. x lgx +5 = lgx lg (lgx + 5)lgx = 15+3lgx Заметим, что далее можно свести полученное уравнение к квадратному и тогда решив его и проверив корни в ОДЗ, получаем Ответ: x = 0,00001; 1000.

5. Приведение логарифмов к одному и тому же основанию log 3 x + 2 log x 3 = 3 Пример ОДЗ: x>0, x1. log 3 x +2log 3 x= 3 Далее можно сделать 1) замену переменной t= log 3 x 2) решить дробно-рациональное уравнение 3) вернуться к замене 4) проверить корни в ОДЗ Ответ: x=3; 9. log 3 x

Графический способ log 3 x = 0,5x – 0,5 3 1

Использованные ресурсы 1) 2) Колмогоров Алгебра и начала анализа 10-11, Просвещение, М.2009г. 3) 4) / / 5) 6) /