1. Множества, отношения, функции, операции Множество базовое неопределяемое понятие математики Множество состоит из элементов Декартово произведение множеств: Мощность множества это число его элементов. A подмножество множества B, если все элементы A принадлежат B. Множества равны, если они подмножества друг друга

Отношение (бинарное) это любое подмножество декартова произведения. Отношение на множестве A это подмножество декартова квадрата A: Отношение эквивалентности обладает свойствами: 1)рефлексивность 2)симметричность 3)транзитивность Отношение эквивалентности разбивает любое множество на классы эквивалентности (классы равных элементов)

Функция это любое отношение, обладающее свойством функциональности ( одному иксу – один игрек !): Инъекция ( каждому иксу – свой игрек !): Сюрьекция ( всем игрекам – хоть что-нибудь !): Биекция взаимно однозначная функция всюду определенная инъективная сюрьекция Всюду определенная функция ( всем иксам – хоть что-нибудь !): Биекция позволяет устанавливать равномощность множеств

Операция (бинарная) это функция вида Ассоциативность: Коммутативность: Дистрибутивность: (слева, справа)

Алгебраическая система это множество с введенными на нем операциями Полугруппа это алгебраическая система с одной ассоциативной операцией Моноид это полугруппа в которой присутствует единичный (нейтральный) элемент относительно операции, т.е. Группа это моноид в котором присутствует обратный элемент относительно операции, т.е.

Теорема Г1. Единичный элемент в группе только один. Теорема Г2. Обратный для каждого в группе только один.

Группа подгруппа группы если Теорема ПГ1. H подгруппа. Теорема ПГ2. Пересечение подгрупп является подгруппой.

Абелева группа это группа с коммутативной операцией. Кольцо это алгебраическая система такая, что

Поле это коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный по умножению Ассоциативное кольцо это кольцо с ассоциативностью умножения, т.е. Коммутативное кольцо это кольцо с коммутативностью умножения. Кольцо с единицей это кольцо с нейтральным элементом по умножению («1»).

Теорема K1. Если в кольце один из сомножителей 0, то и все произведения равны нулю. Теорема К2. если толькои не является делителем нуля. Теорема П1. В поле нет делителей нуля.