Аттарова Вера Васильевна, МОУ Мамонтовская средняя общеобразовательная школа 1 Системы счисления

Как это было? Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов. В разных местах придумывались разные способы передачи численной информации: от зарубок по числу предметов до хитроумных знаков - цифр. Во многих местах люди стали использовать для счета пальцы. Одна из таких систем счета и стала общеупотребительной – десятичная.

Системы счисления Позиционные 352, 23 величина числа зависит от номера позиции цифры при его записиНепозиционные XIII, XIX каждой цифре соответствует величина, не зависящая от ее места в записи числа

Непозиционные системы счисления

Период палеолита тысяч лет до н.э. Единичная система счисления Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Позже значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня (счетные палочки для обучения счету; полоски, нашитые на рукаве, означают на каком курсе учится курсант военного училища). Единичная запись для таких чисел была громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа. Появились специальные обозначения для «пятерок», «десяток», «сотен» и т.д.

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Древнеегипетская десятичная непозиционная СС - единицы- десятки - сотни = Возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э.

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Вавилонская СС – шестидесятеричная (2000 лет до н.э.) Прямой клин (единицы) Лежачий клин (десятки) 60; 60 2 ; 60 3 ; …; 60 n Для определения значения числа нужно его изображение разбить на разряды слева направо. Значение числа определяли по значениям составляющих его «цифр», но с учетом того, что «цифры» в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же «цифр» в предыдущем разряде.

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ = 33 2-ой разряд 1-ый разряд = = = Шестидесятеричная вавилонская система – первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе.

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ До наших дней сохранились следы счета шестидесятками. Ведь до сих пор мы делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Окружность делят на 360, то есть 6*60 градусов, градус - на 60 минут, а минуту - на шестьдесят секунд. В сутках 24 часа, а в году 365 дней. Таким образом, время (часы и минуты) мы считаем в 60-ричной системе, сутки - в 24-ной, недели в 7-ной, года в 12-ричной

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Алфавитные системы счисления В древнейшее время в Греции была распространена так называемая аттическая нумерация. В этой нумерации числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок Древнегреческая нумерация Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая нумерация в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой. В ней числа обозначаются первыми буквами греческого алфавита. Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами. Примерно по такому же принципу организованную систему счисления имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока.

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Римская (500 лет до н.э.) Цифры: Эта римская древняя табличка написана 2000 лет назад IVXLCDM Число обозначается набором подряд стоящих «цифр» Значение числа равно: 1). Сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр»: ХХ=20 2). Разности значений двух «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая: СМ = 1000 – 100 = 900

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Представить число 444 в римской СС = (D-C) + (L-X)+ (V-I) = CD 40 XL 4 IV 444=CDXLIV

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Какое число спрятали римляне? MCMLXXIV = ? M C M L X X I V = (M-C) = =

До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию. Славянская кириллическая нумерация Для записи чисел от 1 до 10 использовались первые буквы алфавита, над которыми ставился специальный знак – титло Аз - 1 Веди - 2 Глаголь - 3 Добро - 4 Есть - 5 Зело - 6 Земля - 7 Иже - 8 Фита - 9 И тысячи - тьма: х легион леодр колода... = "И более сего несть человеческому уму разумевати".

Коротко о главном К НЕПОЗИЦИОННЫМ системам исчисления можно отнести системы исчисления древности: Римскую Старославянскую Вавилонскую Древнеегипетскую Китайскую Ацтеков, майя … НЕДОСТАТКИ: 1. Очень сложно выполнять математические расчеты 2. Необходимость большого числа различных знаков для записи чисел, особенно больших

Позиционные системы счисления

Позиционной называют систему счисления, в которой число представляется в виде последовательности цифр, количественное значение которых зависит от места (позиции), которое занимает каждая из них в числе позиция * 1 2 позиция * 10 3 позиция * позиция * (10 3 ) (10 2 ) (10 1 ) (10 0 ) Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры «по месту» и «вес» каждого разряда. Десятичная система: 1, 10, 10 2, 10 3, …, 10 n Двоичная система: 1, 2, 2 2, 2 3, …, 2 n P-ичная система: …, p -n, …, p -2, p -1, p 0, p 1, …, p n

Позиционные системы счисления Смешанные: p-q-ичные Каждая цифра числа, заданного в p- ичной системе, заменяется ее представлением в q- ичной системе и наоборот = =

Позиционные системы счисления Развернутая форма записи числа Свернутая форма записи числа А = anPn anPn + a n-1 P n-1 + … +a 1 P + a0 a0 + b -1 P -1 + b -2 P -2 + … + b -k P -k + … А p = a n …a 1 a 0, b -1… b -k... P 186, , = ,1+4 0,01+8 0,001= = Так можно представить любое число в 10-ичной СС… 231,44 5 = …а также любое число в р-ичной системе счисления

Лейбниц (Leibniz) Готфрид Вильгельм ( ) немецкий философ, математик, физик, языковед Лейбниц, изрядное время уделивший двоичной (бинарной) математике, видел в ней «… прообраз творения». Он считал, что «единица представляет божественное начало, а ноль – небытие. Высшее Существо создает все сущее из небытия точно таким же образом, как единица с помощью нуля выражает все числа». Двоичная система счисления С конца ХХ века, века компьютеризации, человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обрабатываемая ЭВМ, хранится в них в двоичном виде. Лейбниц в 1697 г. разработал правила двоичной арифметики. Он настолько был восхищен своим открытием, что в его честь выпустил специальную медаль, на которой были даны двоичные изображения начального ряда натуральных чисел возможно, это был тот редкий случай в истории математики, когда математическое открытие было удостоено такой высокой почести. Лейбниц, однако, не рекомендовал двоичную арифметику для практических вычислений вместо десятичной системы, но подчеркивал, что вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок. Блестящие предсказания Лейбница сбылись только через два с половиной столетия, когда выдающийся американский ученый, физик и математик Джон фон Нейман предложил использовать именно двоичную систему счисления в качестве универсального способа кодирования информации в электронных компьютерах.

Позиционные системы счисления Двоичная система счисления Основание системы: p=2 Алфавит: 0, 1 Базис …, ¼, ½, 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (…, 2 -2, 2 -1, 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, …) Перевод из двоичной системы счисления в десятичную: = = = = = = Для того, чтобы перевести целое число из 2-ной (или любой недесятичной) системы счисления в десятичную, необходимо это число записать в развернутой форме, сложить все произведения и вычислить его значение.

Позиционные системы счисления Таблица степеней числа 2 N N2N Перевод из десятичной системы счисления в двоичную… 1.Последовательно выполнять деление данного целого десятичного числа и полученных целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное меньше делителя, т.е. основания новой системы. 2.Получить искомое число, для чего записать, начиная с последнего частного, полученные остатки в обратной последовательности. 51 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = 1 1 остаток = : 8 = : 8 = : 8 = = остаток 4 … в любую другую систему счисления

Позиционные системы счисления Пример: Задание: переведите числа 156, 241 и 77 из 10-чной в 2-чную, 5-ную, 7-ную СС. Выполните проверку = Решение: 168 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = = остаток Проверка: = = =168 10

Позиционные системы счисления Перевод дробных и смешанных чисел. а). из 2-ной в 10-ную СС: 1001,01 2 = 1·2 0 +0·2 1 +0·2 2 +1·2 3 +0· ·2 -2 = /4 = 9,25 10 б). из 10-ной в 2-ную СС: Перевод чисел, содержащих целую и дробную часть, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой. Для перевода правильных дробей из 10-ной системы счисления в любую другую: 1). Последовательно умножаем данную дробную часть числа и получаемые дробные части произведений на основание новой СС до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа. 2). Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, приводим в соответствие с алфавитом новой системы счисления. 3). Составляем дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения. 0, =0, , = , в). из 10-ной в любую другую СС: 180, А : 4 = : 4 = : 4 = 23 остаток , , , ,222 4

Позиционные системы счисления Перевод чисел из СС с основанием p в СС с основанием q. Для перевода чисел из p–ичной в q–ичную очень удобно использовать десятичную систему, как промежуточную: сначала перевести число из p–ичной в десятичную, затем из десятичной в q–ичную. А p B 10 C q Пример: перевести число 126 из семеричной системы счисления в троичную. 1.Переведем число 126 из семеричной СС в десятичную: =1·7 2 +2·7 1 +6·7 0 = = Переведем число 69 из десятичной СС в троичную: = =2120 3

Системы счисления, используемые в компьютере

Системы счисления, используемые в ЭВМ Двоичная система счисления – это система, используемая компьютером, обусловленная способом организации памяти (вспомните, что ячейка памяти может иметь два значения 0 или 1) Однако, запись чисел в 2-ичной СС достаточно длинна и занимает очень много места Шестнадцатеричная и восьмеричная системы исчисления (системы счисления с основанием 2n ) позволяют записывать двоичные коды более кратко и понятно, они широко используется для кодирования информации (текста, графики …) ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА ИСЧИСЛЕНИЯ Основание p = я я ABCDEF

Системы счисления, используемые в ЭВМ Все правила перевода чисел, используемые для других оснований, применяются и для шестнадцатеричной системы: Переведем в шестнадцатеричную СС: 2125 : 16 = (D) 132 : 16 = = 84D 16 остаток Произведем проверку: 84D 16 =8· · ·16 0 = =

Системы счисления, используемые в ЭВМ Перевод чисел из двоичной СС в СС с основанием 2 n 10 с/с2 с/с (n=1)8 с/с (n=3)16 с/с (n=4) А В С D E F

Перевод целых двоичных чисел в систему счисления с основанием 2 n. 1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n в каждой. 2. Если в левой последней группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в СС с основанием 2 n. Перевести число в восьмеричную систему счисления = Перевести число в шестнадцатеричную СС =

Перевод дробных двоичных чисел в систему счисления с основанием 2 n. 1. Двоичное число разбить слева направо на группы по n в каждой. 2. Если в правой последней группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в СС с основанием 2 n. Перевести число 0, в восьмеричную систему счисления , =0, Перевести число 0, в 16-ричную систему счисления DBA 0, =0,DBA 16

Перевод произвольных двоичных чисел в систему счисления с основанием 2 n. 1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную - слева направо на группы по n в каждой. 2. Если в левой последней и/или правой группе окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в СС с основанием 2 n. Перевести число 10110, в восьмеричную систему счисления , , =26,073 8 Перевести число 10110, в 16-ричную систему счисления ,1D , =16,1D8 8

Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 n в двоичную СС. Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием 2 n, перевести в двоичную СС, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления. Перевести число 34AD3, в двоичную систему счисления. 34AD3, , AD3,01916= ,

Арифметика в позиционных системах счисления

Позиционные системы счисления Сложение и вычитание двоичных чисел. Сложение и вычитание двоичных чисел производится также как в десятичной системе счисления = = = = 10 (единица переносится в следующий разряд) = = = = 1 (единица занимается из старшего разряда) ПРИМЕРЫ: , , , , , 1 1, 1 0 В позиционных системах счисления выполняются основные арифметические операции: +, -, ·, :.

Позиционные системы счисления Умножение двоичных чисел: Умножение и деление двоичных чисел производится точно так же, как и десятичных. 0 · 0 = 0 1 · 0 = 1 1 · 1 = Деление двоичных чисел

Позиционные системы счисления Математические действия в p-ичной системе счисления Выполнить действия: ; ; 55 8 ·17 8 ; 55 8 :17 8 Сложение = =74 8 Вычитание =36 8 Умножение = = ·15 10 = = = Деление = = : = = : 17 8 =3 8

Позиционные системы счисления Сложение и вычитание чисел с разными основаниями. Для сложения и вычитания чисел с разными основаниями СС необходимо: перевести их в десятичную систему; выполнить действия в десятичной системе; перевести результат в запрашиваемую СС. Пример: выполните действия Ответ представьте в 6-ричной СС = ; =49 10 ; = = =1511 6